Kreisfläche mit Rechtecken ausfüllen

12.09.2010, 22:35

sudie

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Kreisfläche mit Rechtecken ausfüllen

Meine Frage:
Hallo,
ich hätte eine Frage, wie ich es anstellen muss, um eine bestimmte Kreisfläche mit Rechtecken auszufüllen. Ich habe leider keinen Ansatz wie ich Anfangen soll. Ich möchte so weit kommen, dass ich nur noch die Anzahl der gewünschten Rechtecke eingeben muss und dann die Abmessungen der einzelnen Rechtecke in Excell ausgegeben werden. Auch der Abstand zwischenden Rechtecken sollte variabel sein. Wäre sehr dankbar für eure Hilfe.
Gruß
sudie

Meine Ideen:
Kreisfläche: A=(pi*d²)/4
Rechteckfläche: A=l*b

12.09.2010, 22:36

tigerbine

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RE: Kreisfläche mit Rechtecken ausfüllen
So ist die Aufgabe imho nicht eindeutig gestellt. Also nicht programmierbar. Wie genau soll die fest vorgegebene Anzahl von Rechtecken hinein gelegt werden.

13.09.2010, 09:33

Ehos

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Um die Aufgabenstellung eindeutig zu machen, könnte man den "oberen" Halbkreis mit n dünnen Querstreifen gleicher Breite ausfüllen (wie in deiner Skizze). Wenn R der Radius ist, dann hat ein Querstreifen die Höhe

$\begin{eqnarray*} y=\frac{R}{n} \end{eqnarray*}$ __________(1)

Der Querstreifen Nr. k (wobei wir von unten anfangen zu zählen) hat demnach die Länge

$\begin{eqnarray*} x_k=2\sqrt{R^2-(ky)^2} \end{eqnarray*}$ __________(2)

Der Flächeninhgalt eines Querstreifens ist "Breite mal Länge", also

$\begin{eqnarray*} A_k=y \cdot x_k \end{eqnarray*}$ __________(3)

Alle n Querstreifen haben zusammen den Flächeninhalt

$\begin{eqnarray*} A=\sum\limits_{k=1}^n A_k \end{eqnarray*}$ __________(4)

Wenn wir (3) in (4) einsetzen und vorher (1), (2) in (3), ergibt sich

$\begin{eqnarray*} A=\sum\limits_{k=1}^n \underbrace{\frac{R}{n}}_y \cdot \underbrace{2\sqrt{R^2-R^2{\left ( \frac{k}{n} \right )}^2}}_{x_k} \end{eqnarray*}$ __________(5)

Dies formt man etwas um und erhält

$\begin{eqnarray*} A=2R^2 \cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac{\sqrt{1-\left ( \frac{k}{n}\right )^2}}{n} \end{eqnarray*}$ __________(6)

Im Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ soll dies den Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} A=R^2\pi/2 \end{eqnarray*}$ eines Halbkreises ergeben. Mit anderen Worten - die Summe in (6) muss im Grenzfall den Wert $\begin{eqnarray*} \pi/4 \end{eqnarray*}$ ergeben. Das wäre zu zeigen.

13.09.2010, 10:25

wisili

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... oder man könnte die Rechtecksflächensumme maximieren (für n Rechtecke).

13.09.2010, 10:33

Duedi

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sudie ist aber klar, dass man mit endlich vielen Rechtecken keinen Kreis komplett ausfüllen kann, oder? Kann das aus der Frage nicht erkennen.

13.09.2010, 22:39

sudie

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RE: Kreisfläche mit Rechtecken ausfüllen
Hallo,
ich versuch nochmal zu erklären. Es geht ja darum den Kreis mit Rechteckflächen auszufüllen. Dabei haben die Rechtecke nicht die gleiche Breite. Genauer gesagt es geht um den Ausnutzungsfaktor. Füllt man den Kreis zum Beispiel mit nur einem Rechteck hat man dadurch einen schlechten Ausnutzungsfaktor erreicht. (Bild 1)
Erhöht man nun die Anzahl der Rechtecke verbessert sich der Ausnutzungsfaktor. Ab einer gewissen Anzahl von Rechtecken verbessert sich der Ausnutzungsfaktor nur noch unwesentlich. Nun wollte ich wissen, wie ich die einzelnen Maße der Rechtecke bestimmen kann und den dazu gehörigen Ausnutzungsfaktor. Desweiteren wollte ich wissen ob es sein kann, dass ich einen besseren Ausnutzungsfaktor erreiche, wenn man Rechtecke mit unterschiedlichen Breiten verwendet. (Bild 2)
Ich hoffe ihr könnt euch nun Vorstellen, was ich mit meiner Frage gemeint habe.
Vielen Dank für eure Anregungen.

Gruß
Sudie

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13.09.2010, 22:43

tigerbine

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RE: Kreisfläche mit Rechtecken ausfüllen
Du siehst immer noch nicht, dass du nicht eindeutig vorgibst, wie die Rechtecke in den Kreis zu legen sind. Bei einem mag man sich noch trivial denken, dass es wohl das größtmögliche ist.

Aber bei 2en? Wie gibst du die Höhe/Breite von denen vor? Nur so wird es doch eindeutig.

Oder willst du pro vorgegebener Anzahl erst mal das Optimierungsproblem lösen, welche Rechtecke hineinzulegen sind, um die größt mögliche Fläche hineinzulegen...

Das musst du nun erst mal festlegen.

14.09.2010, 09:36

wisili

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Zitat:

Original von wisili
... oder man könnte die Rechtecksflächensumme maximieren (für n Rechtecke).

stand auch schon mal da.

14.09.2010, 10:05

Ehos

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@sudi
Wenn du einen Halbkreis mit dünnen n Querstreifen gleicher Breite ausfüllst und die Flächen dieser Streifen addierst, kannst du den "Ausnutzungsgrad" mit meiner Formel sehr schön ausrechnen. Die Summe der Flächen von n Streifen (im Halbkreis) lautet allgemein:

$\begin{eqnarray*} A=2R^2 \cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac{\sqrt{1-\left ( \frac{k}{n} \right )^2}}{n} \end{eqnarray*}$

Ich hab's mit dieser Formel für die ersten Werte k=1,2,3;4 mal mit EXCEL berechnet und folgende Werte erhalten

n=1: $\begin{eqnarray*} A=2R^2 \cdot \underbrace{\frac{\sqrt{1-\left ( \frac{1}{1} \right )^2}}{1}}_0 \end{eqnarray*}$

n=2: $\begin{eqnarray*} A=2R^2 \cdot \underbrace{\left ( \frac{\sqrt{1-\left ( \frac{1}{2} \right )^2}+\sqrt{1-\left ( \frac{2}{2} \right )^2}}{2} \right )}_{=0,4330} \end{eqnarray*}$

n=3: $\begin{eqnarray*} A=2R^2 \cdot \underbrace {\left ( \frac{\sqrt{1-\left ( \frac{1}{3} \right )^2}+\sqrt{1-\left ( \frac{2}{3} \right )^2}+\sqrt{1-\left ( \frac{3}{3} \right )^2}}{3} \right )}_{=0,5627} \end{eqnarray*}$

n=4: $\begin{eqnarray*} A=2R^2 \cdot \underbrace {\left ( \frac{\sqrt{1-\left ( \frac{1}{4} \right )^2}+\sqrt{1-\left ( \frac{2}{4} \right )^2}+\sqrt{1-\left ( \frac{3}{4} \right )^2}+\sqrt{1-\left ( \frac{4}{4} \right )^2}}{4} \right )}_{=0,6239} \end{eqnarray*}$

usw.

Mit EXCEL kann man nachrechnen, dass die große Klammer für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \pi/4 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Zum Beispiel ergibt die große Klammer

für n=8: 0,7099
für n=9: 0,7189
für n=10: 0,7261
...

für n= $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \pi/4 \end{eqnarray*}$ =0,7853981...

Nun ist es nicht mehr schwer, den Ausnutzungsfaktor in Prozent auszudrücken, indem man die berechneten Zahlenwerte mit dem Wert $\begin{eqnarray*} \pi/4 \end{eqnarray*}$ ins Verhältnis setzt. Der Ausnutzungsgrad ist natürlich unabhängig vom Radius R.

14.09.2010, 10:40

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Ehos
Mit EXCEL kann man nachrechnen, dass die große Klammer für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \pi/4 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Zum Beispiel ergibt die große Klammer

für n=8: 0,7099
für n=9: 0,7189
für n=10: 0,7261
...

Nachrechnen oder gar beweisen kann man das so nicht!
Excel taugt allenfalls dazu dies plausibel zu machen.

Um tatsächlich einzusehen, daß

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac 1n\sum_{k=1}^n\sqrt{1-\left(\frac kn\right)^2}=\frac{\pi}4 \end{eqnarray*}$

kann man die Summe als Zwischensumme des Integrals

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\sqrt{1-x^2}~\dd x \end{eqnarray*}$

entlarven.

@sudie
Du solltest Dir klar machen, dass die Aufgabenstellung ohne weitere Einschränkungen nicht sinnvoll ist.
Einfach zu beantworten wäre z.B. die Frage nach dem flächengrößten Rechteck, welches dem Kreis einbeschrieben werden kann.
Bei einer größeren Zahl von Rechtecken wird's dann schon schwieriger.
Das gilt um so mehr wenn die Rechtecke keinen Einschränkungen (wie z.B. gleiche Breite bzw. Höhe) unterliegen.

14.09.2010, 14:37

tigerbine

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Zitat:

Original von Ehos
@sudi
Wenn du einen Halbkreis mit dünnen n Querstreifen gleicher Breite ausfüllst und die Flächen dieser Streifen addierst, kannst du den "Ausnutzungsgrad" mit meiner Formel sehr schön ausrechnen. Die Summe der Flächen von n Streifen (im Halbkreis) lautet allgemein:

Warum nicht einmal den Fragesteller begreifen lassen, wo er zu ungenau formuliert... Mathematik ist mehr als das präsentieren einer Formel... unglücklich

unglücklich

14.09.2010, 22:31

sudie

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Hi
nehmen wir dieses Beispiel. Ich habe einen Kreis. Da hinein möchte ich ein Quadrat legen mit der größt möglichen Kantenlänge (a). Das Qadrat liegt dabei vollständig im Kreis.
Der Ausnutzungsfaktor (k) errechnet sich aus dem Quotient aus Quadratfläche/Kreisfläche.
Nun ergibt sich für den besten Ausnutzungsfaktor ein Verhältnis von Kantenlänge/Kreisdurchmesser von 0,7071.
Was bedeutet, dass meine Kantenlänge = 0,7071 * Kreisdurchmesser ist.
Der Ausnutzungsfaktor ergibt sich zu
$\begin{eqnarray*} <br /> k =\frac{4\cdot Kreisdurchmesser²}{2\cdot \pi \cdot Kreisdurchmesser²}=\frac{2}{\pi }=0,6366<br /> \end{eqnarray*}$
Nun ist meine Frage wie komm ich genau auf die 0,7071 für die beste Kantenlänge?

Gruß
Sudie

15.09.2010, 09:16

Ehos

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@Sudie
Die Frage, die du zum Schluss stellst, ist Schulstoff der 6.Klasse.
Du solltest dich mehr bemühen...

Zeichne um ein Quadrat der Kantenlänge a den Umkreis. Offenbar bilden der Durchmesser D und die beiden Seiten a und a des Quadrates ein rechtwinkliges Dreieck. Nach dem Satz des Pythagoras gilt

$\begin{eqnarray*} a^2+a^2=D^2 \end{eqnarray*}$

Stelle dies nach a um und bilde damit das Verhältnis a/D. Dann kürzt sich D raus und das Verhältnis a/D ergibt den gesuchten Zahlenwert.

Mehr Geheimnisse will ich nicht verraten.

15.09.2010, 19:03

sudie

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Hi
ok mit einem Quadrat im Kreis ist es kein Problem. Aber wie sieht es mit der Berechng mehrerer Rechtecke im Kreis aus. Das ist ja das Problem was ich schon die ganze Zeit wissen will.
In dem linken Bild sind 2 Rechtecke im Kreis. n = 2
ak = Kantenlänge
dk = Kreisdurchmesser

Nun berechnet sich

$\begin{eqnarray*} <br /> ak1=dk\cdot \sqrt{\frac{5-\sqrt{5} }{10} } <br /> \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} <br /> ak2 = 0,8507\cdot dk<br /> \end{eqnarray*}$

Der Ausnutzungsfaktor ergibt dann 0,7869
Kann mir nun jemand erklären wie ist auf die Formel für ak komme?

Und wenn ich n = 3 oder n = 4 Rechtecke (rechtes Bild) in den Kreis legen möchte, wie würde ich dann die max. Kantenlänge berechnen?

Gruß
sudie

15.09.2010, 23:05

wisili

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Du hast noch nie geantwortet, wie du die Rechtecke haben willst:

- Ecken bilden reguläres n-Eck oder
- Streifen sind gleichbreit oder
- Gesamtfläche ist maximal oder
- ...

16.09.2010, 21:26

sudie

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Hi
also so wies ausschaut kann mir auch keiner erklären, wie die Formel für ak1 zustande kommt?
@wisli
Ja die Rechtecke sollen maximiert werden.

Gruß

16.09.2010, 21:28

tigerbine

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Zitat:

Original von wisili
Du hast noch nie geantwortet, wie du die Rechtecke haben willst:

- Ecken bilden reguläres n-Eck oder
- Streifen sind gleichbreit oder
- Gesamtfläche ist maximal oder
- ...

Vielleicht haben wir einfach die Lust verloren, ständig die gleichen Rückfragen zu stellen. Mit einem Rechteck ist es schon eine Optimierungsaufgabe. Mit zweien gleich mal eine schwierigere. Usw. Die müssen erstmal gelöst werden. Die % am Ende ist nun wirklich das geringste Problem.

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