galoissch

13.09.2010, 11:24	alg123	Auf diesen Beitrag antworten »
galoissch wenn ich bei körpern mit char = 0 schauen will, ob sie galoissch sind, reicht es ja zu prüfen, ob sie normal sind.. das versuche ich gerade an ein paar beispielen, z.b.: wenn ich mir anschaue: $\begin{eqnarray} \mathbb Q[\sqrt[4]{2}]\|\mathbb Q \end{eqnarray}$ seh ich ja recht gut, dass beim aufstellen des minimalpolynoms.. x^4-2, dass es probleme gibt mit den nullstellen, also ist es nicht normal und nicht galoissch. ich kann ja x^4-2 zerlegen zu: $\begin{eqnarray} (X^2+2)(X+\sqrt{2})(X-\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ und der voredere teil impliziert ja, dass es komplexe ns gibt. das hieße doch dann auch, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Q[\sqrt[4]{2}]\|\mathbb Q[\sqrt{2}] \end{eqnarray}$ das teil auch nicht normal ist, weil es ja nicht vollständig zerfällt, diese erweiterung auch nicht galoissch sein dürfte. ich habe jetz aber gelesen, dass diese erweiterung galoissch ist. deshalb bin ich etwas verwirrt im moment und hoffe mir kann jemand mein fehler zeigen.
13.09.2010, 14:05	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: galoissch Nun, das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{2} \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ hast Du ja richtig bestimmt und auch der erste Teil Deiner Argumentation ist korrekt. Für Deine andere Erweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb Q[\sqrt[4]{2}]\|\mathbb Q[\sqrt{2}] \end{eqnarray}$ hat $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{2} \end{eqnarray}$ aber ein anderes Minimalpolynom, nämlich $\begin{eqnarray} x^2-\sqrt{2}\in\left(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\right)[x] \end{eqnarray}$ . Und dieses zerfällt eben über $\begin{eqnarray} \mathbb Q[\sqrt[4]{2}] \end{eqnarray}$ in Linearfaktoren. Gruß, Reksilat.

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