Unstetigkeitsstellen

13.09.2010, 10:27

Hänsen

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Unstetigkeitsstellen

Moin moin, neue Woche, neue Aufgabe ^^

Sie Lautet; Geben Sie alle Unsteigkeitsstellen der Funktionen y=f(x) an und skizzieren Sie die Graphen der Funktionen:

a) $\begin{eqnarray*} y=\frac{x²-x}{x²-3x+2} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} y=\frac{4x-6}{x+1} \end{eqnarray*}$

wie geht man da denn vor? Ich hab mir einiges mal nachgelesen, aber so richtig komme ich nicht weiter....

Muss ich erst die Grenzwerte bestimmen? Wenn ja, muss ich dann den $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } x \end{eqnarray*}$ laufen lassen???

13.09.2010, 10:40

corvus

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RE: Unstetigkeitsstellen
.
schau mal nach, wo jeweils der Nenner den Wert 0 liefert..
und überlege dann damit weiter.. Wink

Wink

13.09.2010, 10:46

Hänsen

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ich muss vorweg sagen, das ich das damals schon nicht verstanden habe, bin deswegen auch in mathe-prüfung durchgerasselt und jetzt stehe ich schon wieder auf dem schlauch...gibt es nicht irgendwo schritte, wo man sich entlanghangeln kann???

ich bekomme dann ja x1= 2 und x2=1 raus, aber wie mache ich dann weiter

13.09.2010, 10:54

corvus

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Zitat:

Original von Hänsen
und jetzt stehe ich schon wieder auf dem schlauch..
herumstehen schlaucht..
.gibt es nicht irgendwo schritte, wo man sich entlanghangeln kann???

ich bekomme dann ja x1= 2 und x2=1 raus, Freude

Freude

aber wie mache ich dann weiter

hangle ganz einfach mal in der Umgebung deiner gefundenen Stellen herum,
also:
finde heraus, wie sich f in der Nähe (links und knapp rechts von.. ) verhält..

und... was siehst du da dann Schritt um Schritt?

dazu noch ein kleiner Tipp:

$\begin{eqnarray*} <br /> y=\frac{x²-x}{x²-3x+2} = \frac{x\cdot (x-1)}{(x-2)\cdot (x-1)} \end{eqnarray*}$

smile

smile

13.09.2010, 11:25

Hänsen

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sorry das das solange gedauert hat, musste erst essen machen ^^
also ich weiß zwar nicht ob du das so meinst, aber ein versuch ist es wert ^^

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2 } f(x) \end{eqnarray*}$ und dann setze ich für x zb 1,9999 und einmal 2,0001 ein
und
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1 } f(x) \end{eqnarray*}$ und dann setze ich für x zb 0,9999 und einmal 1,0001 ein

bekomme dann bei x=1,9999 das raus:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2 } f(x)=\lim_{x \to 2} \left[\frac{(1,9999)²-1,9999}{(1,9999)²-3\cdot (1,9999)+2} \right] = -\infty \end{eqnarray*}$ aufgerundet

mit x= 2,0001:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2 } f(x)=\lim_{x \to 2} \left[\frac{(2,0001)²-2,0001}{(2,0001)²-3\cdot (2,0001)+2} \right] = +\infty \end{eqnarray*}$ aufgerundet

mit x=0,9999
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1 } f(x)=\lim_{x \to 1} \left[\frac{(0,9999)²-0,9999}{(0,9999)²-3\cdot (0,9999)+2} \right] = -1 \end{eqnarray*}$

mit x=1,0001
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1 } f(x)=\lim_{x \to 1} \left[\frac{(1,0001)²-1,0001}{(1,0001)²-3\cdot (1,0001)+2} \right] = -1 \end{eqnarray*}$

oder wie muss das??

13.09.2010, 11:33

corvus

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ok
und wenn du dir den Tipp von oben noch anschaust,
da siehst du vielleicht, dass f an der Stelle x=1 eine Definitionslücke hat..
und sich aber in der Umgebung dieser Stelle gleich verhält wie
$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{x}{(x-2)} \end{eqnarray*}$

ok?

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13.09.2010, 11:49

Hänsen

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und was heißt das jetzt?? Fällt dann x=1 weg??
ich weiß gar nicht was ich machen soll Hammer

Hammer

13.09.2010, 12:01

BanachraumK_5

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Servus,
wenn du beispielsweise bei dieser Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) =\frac{4x-6}{x+1} \end{eqnarray*}$

-1 einsetzt erhälst du etwas was durch null geteilt wird und somit ist die FUnktion an dieser Stelle nicht Stetig.

13.09.2010, 12:10

Hänsen

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also, das heißt dann das bei der ersten funktion nur eine Unstetigkeit bei X=2 vorhanden ist oder????

13.09.2010, 12:17

BanachraumK_5

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$\begin{eqnarray*} <br /> f(x) :=\frac{x²-x}{x²-3x+2} = \frac{x\cdot (x-1)}{(x-2)\cdot (x-1)} \end{eqnarray*}$

Naja für welche Werte gibt der Nenner null ? Sagte dir Corvus ja auch schon.

Welchen Wert kann man für x noch einsetzen ? Du kannst das doch gut ablesen im Nenner, da Corvus dir die Funktion entsprechen umgestellt hat.

Wann gibt $\begin{eqnarray*} (x-2) \cdot (x-1) \end{eqnarray*}$ denn null ? Genau dann wenn einer der beiden Klammern null gibt die erste Klammer hast du mit x=2.....

PS.: Sry das ich mich hier so einmische.

13.09.2010, 12:19

Hänsen

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ja und bei X=1

aber Corvus hat das ja vorhin irgend gegeneinander weggekürzt

Ps. mir macht das gar nix... bin froh wenn ihr mir helft Freude

Freude

13.09.2010, 12:37

BanachraumK_5

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Zitat:

aber Corvus hat das ja vorhin irgend gegeneinander weggekürzt

Ja stimmt da hat Corvus auch Recht, upps habe ich nicht gesehen also x = 2.

Übung:

Betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}/ 0 \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x) := (1/x) \end{eqnarray*}$ . Was sind die Unstetigkeitsstellen ??

13.09.2010, 12:39

corvus

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Zitat:

Original von Hänsen
ja und bei X=1

aber Corvus hat das ja vorhin irgend gegeneinander weggekürzt

jein.. corvus hat dir geschrieben, dass für alle x ungleich 1 f(x) und g(x) übereinstimmen..

also nochmal:
f ist an den beiden Stellen x=2 und x=1 unstetig
(beidesmal würde durch 0 geteilt)

an der Stelle x=1 hat es aber einfach ein Loch im Funktionsgraph von f
während an der Stelle x=2 eine Polstelle mit Vorzeichenwechel vorliegt
dh der Graph hat eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x=2

entwirf dir doch mal ein Bildchen ..
und dazu kannst du y=g(x) verwenden - mit Ausnahme vom Punkt (1/-1)

ok?

13.09.2010, 12:48

Hänsen

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Übung:

Betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}/ 0 \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x) := (1/x) \end{eqnarray*}$ . Was sind die Unstetigkeitsstellen ??[/quote]

hmmm.....
eigentlich x=0 , aber das keine Lösung sein darf.... hat sie dann keine Unstetigkeiten???

edit: hab gerade versucht die funktion in den funktionsgraphenzeichner einzugeben...klappt aber nicht

13.09.2010, 12:53

Booker

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Genau!

Diese Funktion ist im kompletten Definitionsbereich stetig.

13.09.2010, 13:05

BanachraumK_5

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Zitat:

hmmm..... eigentlich x=0 , aber das keine Lösung sein darf.... hat sie dann keine Unstetigkeiten???

Worauf ich hinaus möchte, das mögen Lehrer:

Die Funktion ist in x = 0 weder Stetig noch Unstetig sie ist einfach nicht definiert.

Bei deinen beiden anderen Funktionen war ja der Definitionsbereich ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ??

Solltest du in Zukunft bitte mal aufschreiben ! Denn eigentlich ist a) und b) nicht lösbar wenn man nicht weiß wo die Funktion definiert ist, denn theoretisch könnte ja auch x=2 und x=1 bei a) auch nicht im Definitionsbereich liegen und dann wäre die Funktion wieder stetig.

13.09.2010, 13:17

Hänsen

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Zitat:

Original von corvus

jein.. corvus hat dir geschrieben, dass für alle x ungleich 1 f(x) und g(x) übereinstimmen..

also nochmal:
f ist an den beiden Stellen x=2 und x=1 unstetig
(beidesmal würde durch 0 geteilt)

an der Stelle x=1 hat es aber einfach ein Loch im Funktionsgraph von f
während an der Stelle x=2 eine Polstelle mit Vorzeichenwechel vorliegt
dh der Graph hat eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x=2

entwirf dir doch mal ein Bildchen ..
und dazu kannst du y=g(x) verwenden - mit Ausnahme vom Punkt (1/-1)

ok?

so, ich hab das mal skizziert..... ^^
bei dieser aufgabe kann ich doch einfach ausrechnen wann es unterm Bruchstrich 0 wird, dann skizzier ich den Graph und fertig ist die aufgabe oder??

13.09.2010, 13:26

Booker

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Bei gebrochen rationalen Funktionen muss man nur überptüfen, ob der Nenner irgendwo Null wird, ja.

Aber es gibt auch andere Funktionen, z.b. die Wurzelfunktion, die für negative Argumente nicht definiert ist. Welchen in welchem Bereich ist zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x^2-4}, f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig?

13.09.2010, 13:41

Hänsen

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Zitat:

Original von BanachraumK_5

Zitat:

hmmm..... eigentlich x=0 , aber das keine Lösung sein darf.... hat sie dann keine Unstetigkeiten???

Worauf ich hinaus möchte, das mögen Lehrer:

Die Funktion ist in x = 0 weder Stetig noch Unstetig sie ist einfach nicht definiert.

Bei deinen beiden anderen Funktionen war ja der Definitionsbereich ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ??

Solltest du in Zukunft bitte mal aufschreiben ! Denn eigentlich ist a) und b) nicht lösbar wenn man nicht weiß wo die Funktion definiert ist, denn theoretisch könnte ja auch x=2 und x=1 bei a) auch nicht im Definitionsbereich liegen und dann wäre die Funktion wieder stetig.

@BanachraumK 5
da steht nix von einem Definitionbereich.....

@Booker
es darf ja nur nicht unter der wurzel ein " - " stehen oder, also darf ich für x nicht -1 ,0 und 1 einsetzen, also ist die funktion im bereich $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis einschließlich -2 und im Bereich +2 bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ stetig... oder??

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