Surjektivität

07.11.2006, 19:20

lonesome-dreamer

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Surjektivität

Hallo zusammen,

Ich hänge gerade bei folgender Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f: [0,1] \rightarrow [u,v] \subset \mathbb R \\ x \rightarrow xu+(1-x)v \end{eqnarray*}$

Zu untersuchen ist die Funktion auf Injektivität und Surjektivität.
Ich habe zuerst nach x umgestellt:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{y-u-v}{1-v} \end{eqnarray*}$
Jetzt lässt sich sagen, dass die Funktion injektiv ist, da die Gleichung für jedes y höchstens eine Lösung hat.
Kann ich als Begründung folgendes schreiben: "injektiv, da $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in D(f) \end{eqnarray*}$ " oder fehlt da noch was?

Bei dem Beweis für Surjektivität bin ich mir nicht mehr so sicher, wie ich das anstellen soll.
Es muss ja für jedes y mindestens eine Lösung geben.
Mich irritieren aber die Intervalle. Wenn v=1 ist, gibt es ja keine Lösung.

Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben?

Gruß
Natalie

07.11.2006, 19:31

Mathespezialschüler

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Da stimmt aber etwas nicht! Es gilt:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{y-v}{u-v} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Kann ich als Begründung folgendes schreiben: "injektiv, da $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in D(f) \end{eqnarray*}$ " oder fehlt da noch was?

Bei dem Beweis für Surjektivität bin ich mir nicht mehr so sicher, wie ich das anstellen soll.
Es muss ja für jedes y mindestens eine Lösung geben.
Mich irritieren aber die Intervalle. Wenn v=1 ist, gibt es ja keine Lösung.

Was soll das logische Gebilde da oben denn in deutscher Sprache bedeuten? Du musst doch zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ !

Und zur Surjektivität: Das sollte sich nach meiner Korrektur geklärt haben.

Gruß MSS

07.11.2006, 19:42

lonesome-dreamer

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Da stimmt aber etwas nicht! Es gilt:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{y-v}{u-v} \end{eqnarray*}$ .

Das kann ich nicht nachvollziehen.

Zitat:

Original von MathespezialschülerWas soll das logische Gebilde da oben denn in deutscher Sprache bedeuten?

Das soll heißen, dass die Aussage für alle x,y aus dem Definitionsbereich wahr ist.

Zitat:

Du musst doch zeigen, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das zeigen?

Ich hab's wohl doch noch nicht so richtig verstanden. unglücklich

unglücklich

07.11.2006, 19:50

Mathespezialschüler

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Zeig doch mal deine Rechnung!

Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Kann ich als Begründung folgendes schreiben: "injektiv, da $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in D(f) \end{eqnarray*}$ " oder fehlt da noch was?

Das würde doch aber bedeuten: "injektiv, da für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathrm D(f) \end{eqnarray*}$ ". Da fehlt ja irgendwie noch was: Welche Aussage ist für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathrm D(f) \end{eqnarray*}$ wahr?
Die Aussage $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ kann man im Prinzip auch umformulieren zu: "Für jedes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gibt es höchstens ein $\begin{eqnarray*} x\in\mathrm D(f) \end{eqnarray*}$ , sodass die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.", du hast also nichts falsch verstanden.

Gruß MSS

07.11.2006, 19:53

Shurakai

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Setz in f die Werte $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ ein und schau, ob du durch Umformen etc. Gleichheit zeigen / folgern kannst. smile

smile

07.11.2006, 20:04

lonesome-dreamer

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Das Einzige, was ich gerchnet hab, ist die Gleichung nach x umzustellen, was aber anscheinend falsch ist.
Könntest du mir bitte sagen, wie du auf
$\begin{eqnarray*} x=\frac{y-v}{u-v} \end{eqnarray*}$ kommst?

Zitat:

Welche Aussage ist für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathrm D(f) \end{eqnarray*}$ wahr?

Ich meinte nicht "Aussage". Ich wollte damit nur zum Ausdruck bringen, dass Injektivität vorliegt, da man alle x,y aus dem Definitionsbereich einsetzen kann.
Ich wusste nicht, wie ich es anders schreiben sollte, da ich ja keinen Beweis hatte, sondern die Injektivität nur aus der Gleichung "abgelesen" habe.

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07.11.2006, 20:08

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Das Einzige, was ich gerchnet hab, ist die Gleichung nach x umzustellen, was aber anscheinend falsch ist.
Könntest du mir bitte sagen, wie du auf
$\begin{eqnarray*} x=\frac{y-v}{u-v} \end{eqnarray*}$ kommst?

Nein, du zeigst uns, wie du auf dein Ergebnis kommst! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von lonesome-dreamer

Zitat:

Welche Aussage ist für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathrm D(f) \end{eqnarray*}$ wahr?

Ich meinte nicht "Aussage". Ich wollte damit nur zum Ausdruck bringen, dass Injektivität vorliegt, da man alle x,y aus dem Definitionsbereich einsetzen kann.

Injektivität hat doch damit nichts zu tun! Was Injektivität ist, siehe oben.

Gruß MSS

07.11.2006, 20:20

lonesome-dreamer

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Zitat:

Nein, du zeigst uns, wie du auf dein Ergebnis kommst! Augenzwinkern

Oh man, wie blind kann man sein? Ich hab zwischen das x und u ein Plus dazu phantasiert. Wie viele Fehler sich doch durch genaues Hinschauen verhindern lassen könnten.
Dann hat sich das schon mal erledigt.

Wenn ich jetzt diese Aussage $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ beweisen will, muss ich dann nur zwei beliebige Zahlenwerte einsetzen (natürlich nur aus dem Def.Bereich)?

07.11.2006, 21:06

lonesome-dreamer

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OK, ich hab's jetzt (hoffe ich):

$\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2)\\ \frac{x_1-v}{u-v}=\frac{x_2-v}{u-v}\\(x_1-v)(u-v)=(x_2-v)(u-v) \end{eqnarray*}$
Ausmultiplizieren und zusammenfassen, ergibt $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ , womit die Injektivität bewiesen wäre.

Zur Surjektivität:
Die Funktion ist surjektiv, da der Nenner nie 0 werden kann und es somit immer mindestens eine Lösung für y gibt.
Nur, wie beweise ich das?

08.11.2006, 16:41

Mathespezialschüler

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Jetzt hast du aber $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-v}{u-v} \end{eqnarray*}$ benutzt, was aber falsch ist! Es ist doch $\begin{eqnarray*} f(x)=ux+(1-v)x \end{eqnarray*}$ . Du musst also beweisen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} ux_1+(1-v)x_1=ux_2+(1-v)x_2\Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ .

Dass deine Aussage, dass du nur Zahlenwerte einsetzen musst, falsch ist, hast du ja anscheinend schon selbst gesehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zur Surjektivität: Du musst beweisen, dass zu jedem $\begin{eqnarray*} y\in [u,v] \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ ist. Dazu kannst du einfach ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angeben. Aufschreiben tut man das dann so:
Sei $\begin{eqnarray*} y\in [u,v] \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x=\ldots \end{eqnarray*}$ (deine Gleichung oben) gilt: $\begin{eqnarray*} f(x)=\ldots=y \end{eqnarray*}$ (da musst du das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in die Funktionsvorschrift einsetzen und zeigen, dass $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ rauskommt). Außerdem musst doch noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ liegt!

Gruß MSS

08.11.2006, 20:54

lonesome-dreamer

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Hi,
erstmal vielen Dank für deine Mühe.

Ich hab's nochmal gerechnet, wie du gesagt hast. Die Funktion ist demnach injektiv und surjektiv.
Wie man das rechnet hab ich jetzt verstanden.

Zitat:

Außerdem musst doch noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ liegt!

Aber, was meinst du damit? Wozu soll das noch gezeigt werden?

08.11.2006, 20:59

Mathespezialschüler

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Es gilt doch: $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\to [u,v] \end{eqnarray*}$ . Und jetzt muss für die Surjektivität gelten, dass zu jedem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus dem Bildbereich (hier $\begin{eqnarray*} [u,v] \end{eqnarray*}$ ) mind. ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem Definitionsbereich (das ist hier $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ !) existiert mit $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ . Also musst du noch zeigen, dass dein ausgerechnetes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ immer in diesem Intervall liegt.

Gruß MSS

08.11.2006, 21:20

lonesome-dreamer

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Achso.
$\begin{eqnarray*} u\leq y\leq v \\ \Leftrightarrow 0 \leq y-v \leq u-v \end{eqnarray*}$

Kann man das so schreiben?

08.11.2006, 21:32

Mathespezialschüler

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Nein, weil $\begin{eqnarray*} y-v\leq 0 \end{eqnarray*}$ gilt!

Gruß MSS

08.11.2006, 21:46

lonesome-dreamer

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Zitat:

Nein, weil $\begin{eqnarray*} y-v\leq 0 \end{eqnarray*}$ gilt!

Kannst du mir das bitte erklären, wie du darauf kommst. Ich kann das nämlich nicht nachvollziehen.

Es soll übrigens auch noch u<v gelten. Hab ich vergessen, bei der Aufgabenstellung hinzuschreiben.

08.11.2006, 21:58

Mathespezialschüler

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Naja, wenn $\begin{eqnarray*} 3\leq 5 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} 3-5\leq 0 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und es gilt nunmal $\begin{eqnarray*} y\leq v \end{eqnarray*}$ . Du kannst ja auch einfach mit $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ erweitern und schreiben:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{v-y}{v-u} \end{eqnarray*}$ .

Dann kannst du deinen Ansatz versuchen.

Gruß MSS

08.11.2006, 22:02

lonesome-dreamer

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Also dann so:
$\begin{eqnarray*} 0 \leq v-y \leq v-u \end{eqnarray*}$

Passt das jetzt?

08.11.2006, 22:05

Mathespezialschüler

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Ja. Was folgt jetzt daraus für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

08.11.2006, 22:11

lonesome-dreamer

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Daraus folgt dann:
$\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$

08.11.2006, 22:30

Mathespezialschüler

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Genau. Damit bist du fertig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

09.11.2006, 14:41

lonesome-dreamer

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Recht herzlichen Dank Gott

Gott

Gruß
Natalie

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