Einfacher Grenzwert II

13.09.2010, 15:13

BanachraumK_5

Einfacher Grenzwert II

Sei $\begin{eqnarray*} T \in L(E,F) \end{eqnarray*}$ also T linear und stetig. Seien weiter E und F Banachräume über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Kann mir mal einer sagen was mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{v \mapsto 0} \frac{Tv}{\Vert v \Vert} \end{eqnarray*}$ passiert, wobei $\begin{eqnarray*} v \in E\setminus {0} \end{eqnarray*}$ ist.

Ich weiß das T rauskommen muss.

13.09.2010, 15:26

Felix

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Dieser GW existiert im Allgemeinen nicht. Du kannst dir das ganz einfach klar machen indem du für v verschiedene Einheitsvektoren nimmst ...

Edit:

T ist zwar stetig aber $\begin{eqnarray*} v \to \frac{v}{||v||} \end{eqnarray*}$ ist es in 0 meistens nicht.

13.09.2010, 15:30

Mazze

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Zitat:

Ich weiß das T rauskommen muss.

Gegenbeispiel :

$\begin{eqnarray*} Tx = x , E = F = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Dann existiert der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x}{|x|} \end{eqnarray*}$

nicht.

edit : zu spät Big Laugh

13.09.2010, 15:36

BanachraumK_5

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Muss aber existieren, denn meinem Skript zufolge ist die affin-lineare Funktion $\begin{eqnarray*} f:E \rightarrow F \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(u) := Tu + w (w \in F) \end{eqnarray*}$ differenzierbar mit
$\begin{eqnarray*} df(u) = f'(u) = T \end{eqnarray*}$ .

Ich wollte mal zur Übung die Ableitung berechnen $\begin{eqnarray*} v \in E\setminus \{0 \} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \lim_{v \rightarrow 0} \frac{f(u+v) - f(u)}{\Vert v \Vert} = \lim_{v \rightarrow 0} \frac{Tu+Tv+w-Tu-w}{\Vert v \Vert} = \lim_{v \mapsto 0} \frac{Tv}{\Vert v \Vert} \end{eqnarray*}$

Würde nun dieser Grenzwert nicht existieren, dann wäre f nicht Frechet-differenzierbar, was mithin falsch ist.

13.09.2010, 15:41

Mazze

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Dein Problem ist, dass Du den Grenzwert nicht ordentlich aufgeschrieben hast. Ein Operator heisst Frechet-Differenzierbar (unter und den entsprechenden Voraussetzungen) wenn der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{\left\|T(x + h) - Tx - T'(x)h \right\|}{\|h\|} \end{eqnarray*}$

existiert.

Und jetzt schau Dir mal an was Du geschrieben hast.

13.09.2010, 15:52

BanachraumK_5

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Zitat:

Dein Problem ist, dass Du den Grenzwert nicht ordentlich aufgeschrieben hast. Ein Operator heisst Frechet-Differenzierbar (unter und den entsprechenden Voraussetzungen) wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{\left\|T(x + h) - Tx - T'(x)h \right\|}{\|h\|} \end{eqnarray*}$ existiert.

Also in meinem Skript steht
f heißt Frechet-differenziebar $\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ Es existiert eine stetige lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} T \in L(E,F) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{v \rightarrow 0} \frac{f(a+v) - f(a) - Tv}{\Vert v \Vert} = 0 \end{eqnarray*}$ in F. Sry, aber da das im Skript ist und elementar in der Vorlesung war, bin ich davon ausgegangen da ist kein Fehler ?!

Dann führt uns das also zum Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{v \mapsto 0} \frac{\Vert Tv\Vert }{\Vert v \Vert} \end{eqnarray*}$ welcher mir auch nicht so ganz klar ist ?

13.09.2010, 16:00

Mazze

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Ich kenne dein Skript nicht, aber mein Gegenbeispiel von oben zeigt bereits dass eure Definition so nicht ganz taugt. Abgesehen davon ist

$\begin{eqnarray*} f(a + v) - f(a) - Tv = Ta + Tv + w - Ta - w - Tv = 0 \end{eqnarray*}$

und damit sind alle rechnereien sowieso obsolet. Vielleicht steht in deinem Skript ja, dass der Grenzwert bezüglich der Operatornorm betrachtet wird. Dann muss man die Striche sowieso hinschrieben. Ansonsten hab ich schon gezeigt das bereits differenzierbare Funktionen im endlich dimensionalen deine Bedingung nicht erfüllen.

edit :

Kommando zurück , da steht tatsächlich "in F" bei eurer Definition. Das bedeutet, dass der Ausdruck in der F-Norm betrachtet werden muss, und dann ist es genau das was ich meine.

13.09.2010, 16:08

BanachraumK_5

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Zitat:

Ansonsten hab ich schon gezeigt das bereits differenzierbare Funktionen im endlich dimensionalen deine Bedingung nicht erfüllen.

Also ist f(u) = Tu + w tatsächlich nicht differenzierbar? Doch: Jetzt würde doch
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\vert x \vert}{|x|} \end{eqnarray*}$ (Gegenbeispiel) existieren.

Zitat:

Ich kenne dein Skript nicht

Das ist schon klar, aber ich wollte darauf hinweisen, dass es nicht mein Fehler war. Außerdem habe ich mich eh schon ein wenig gewundert denn im Werner ist die Definition auch ein wenig anderst.

Zitat:

wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{\left\|T(x + h) - Tx - T'(x)h \right\|}{\|h\|} \end{eqnarray*}$ existiert.

Falsch! Der Grenzwert muss null ergeben. Augenzwinkern

Wenn dieser Grenzwert existiert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{\left\|T(x + h) - Tx \right\|}{\|h\|} \end{eqnarray*}$

13.09.2010, 16:10

Mazze

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Mein Edit des letzten Posts dürfte alles klären.

edit :

Ja, der entsprechende Grenzwert existiert. Man sollte sich bei Grenzwertbetrachtungen immer fragen bezüglich welcher Norm/Topologie das Ganze geschieht, dann passiert sowas nicht.

13.09.2010, 16:18

BanachraumK_5

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O.K. aber wenn ich das jetzt so wie du mache komme ich doch auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{v \mapsto 0} \frac{\Vert Tv\Vert }{\Vert v \Vert} \end{eqnarray*}$

oder liege ich falsch? Was ist denn mit diesem Grenzwert das ist doch was anderes wie

$\begin{eqnarray*} \lim_{v \mapsto 0} \frac{Tv}{\Vert v \Vert} \end{eqnarray*}$ ??

Edit: Habe auch schon zweimal editiert, irgendwie überschneidet sich alles. Also warum ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{v \mapsto 0} \frac{\Vert Tv\Vert }{\Vert v \Vert} = Tv \end{eqnarray*}$

13.09.2010, 19:28

Mazze

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Ist es nicht. Es sei $\begin{eqnarray*} f(x) = Tx + w \end{eqnarray*}$ dann ist

$\begin{eqnarray*} f(x + v) - f(x) - Tv = Tx + Tv + w - Tx - w - Tv = 0 \end{eqnarray*}$

und damit natürlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{v \to 0}\frac{\left\|f(x + v) - f(x) - Tv \right\|}{\|v\|} = \lim_{v \to 0}\frac{\|0\|}{\|v\|} = 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist f Fréchet-differenzierbar mit Ableitung T.

13.09.2010, 19:39

BanachraumK_5

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Zitat:

Ist es nicht.

Ich habe etwas ganz anderes vor ich möchte das hier berechnen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{v \to 0}\frac{\left\|f(x + v) - f(x)\right\|}{\|v\|} \end{eqnarray*}$ .

Das was du machst ist natürlich vollkommen richtig. Aber wenn man nicht genau weiß was die Ableitung ist kann man doch auch meine Formel benutzen, denn ich möchte als Ergebnis $\begin{eqnarray*} T \cdot v \end{eqnarray*}$ erhalten.

Dürfte äquivalent zur folgender Formel im eindimensionalen (aus der Schule) sein:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x) - f(x_0)} {x - x_0} \end{eqnarray*}$ , so kann man doch normalerweise direkt die Ableitung "ausrechnen".

Zitat:

Damit ist f Fréchet-differenzierbar mit Ableitung T.

Ist schön und gut, aber wenn ich nicht weiß was die Ableitung ist wäre es schön sie auch berechnen zu können.

14.09.2010, 17:27

BanachraumK_5

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Ich habs jetzt!

Ich kann das Differential über die Formel für $\begin{eqnarray*} \partial_{\nu} f(u) \end{eqnarray*}$ berechnen, denn $\begin{eqnarray*} df(u) \cdot \nu = \partial_{\nu} f(u) \end{eqnarray*}$ und dann checken ob

$\begin{eqnarray*} \lim_{\nu \to 0}\frac{\left\|f(x + \nu) - f(x) - df(u) \cdot \nu \right\|}{\|v\|} = 0 \end{eqnarray*}$

erfüllt ist.

Danke @MAZZE

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