Kombination zweier W'keitsdichten

13.09.2010, 16:35

kannNichts

Kombination zweier W'keitsdichten

Meine Frage:
Hallo,

ich stehe gerade fürchterlich auf dem Schlauch und bin dazu noch verunsichert. Hier mein Problem:

Gegeben seien zwei diskrete W'keitsdichten X und Y mit den Trägern 0,1,2,3,4. Die Träger bezeichnen dabei s.u. Ereignisse, die eintreten können. Es seien
- $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ : 1, Ereignis $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ tritt ein, 0 sonst
- $\begin{eqnarray*} Y_i \end{eqnarray*}$ : 1, Ereignis $\begin{eqnarray*} Y_i \end{eqnarray*}$ tritt ein, 0 sonst

Ich würden nun gerne die Dichte für Z berechnen, die mir angibt, wie wahrscheinlich ein Auftreten von Ereignis X1 und Y1 bzw. X2 und Y2, X3 und Y3, etc. auftreten.
- $\begin{eqnarray*} Z_i \end{eqnarray*}$ : 1, Ereignis $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_i \end{eqnarray*}$ tritt ein, 0 sonst

Das bedeutet, dass z.B. das Ereignis $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_j \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} j\neq i \end{eqnarray*}$ , nicht auftreten kann!

Meine Ideen:
Also, $\begin{eqnarray*} P(Z=z) = P(X=z)P(Y=z) \end{eqnarray*}$ , wenn ich mich nicht täusche. Nun ist Z aber keine Dichte, da die Summe über P(Z=z) nicht eins ergibt.

Kann mir jemand sagen, was ich hier falsch mache?

13.09.2010, 17:13

Mr. Pink

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RE: Kombination zweier W'keitsdichten
Deine ZV werden wohl abhängig sein...

Hast du eine Idee, was P(A und B) ist, wenn A,B abhängig sind?

13.09.2010, 17:41

kannNichts

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RE: Kombination zweier W'keitsdichten
Vielen Dank für die Antwort.

Zitat:

Hast du eine Idee, was P(A und B) ist, wenn A,B abhängig sind?

Ich habe nicht den Hauch einer Idee und wüsste auch nicht, wie ich an die W'keit komme. Aber was ich weiß, ist das
$\begin{eqnarray*} P(X=i|Y=j) = 0, i \neq j \end{eqnarray*}$
Was jedoch $\begin{eqnarray*} P(X=i|Y=i) \end{eqnarray*}$ (oder anders herum) ist, weiß ich nicht. Kann mir jemand sagen, wie ich daran kommen kann?

13.09.2010, 18:27

René Gruber

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Bezeichnungwirrwar

Zitat:

Original von kannNichts
- $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ : 1, Ereignis $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ tritt ein, 0 sonst

$\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ bezeichnet bei dir also ein Ereignis und gleichzeit dann auch noch dessen charakteristische Funktion??? Ziemlich absonderlich.

Und was haben $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ damit zu tun? Da fehlt jede Verbindung zu den $\begin{eqnarray*} X_i,Y_i \end{eqnarray*}$ in deiner Erklärung - vielleicht kannst du das ja mal aufklären.

13.09.2010, 18:34

René Gruber

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Korrektur
Sorry, da hab ich mich im Begriff vertan: Ich meine Indikatorfunktion statt charakteristische Funktion. Letztere hat ja in der Stochastik eine andere Bedeutung. Augenzwinkern

14.09.2010, 11:48

kannNichts

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Hmm, da hast du wohl nicht ganz Unrecht, dass das ganze etwas durcheinander gegangen ist. Also vielleicht hier noch mal auf Deutsch:

Seien $\begin{eqnarray*} A_i, i\in \{0..4\} \end{eqnarray*}$ Ereignisse mit $\begin{eqnarray*} A_i = 1 \end{eqnarray*}$ , wenn das Ereignis eintritt, 0 sonst, wobei die Ereignisse s.u. sind. X beschreibe dabei die Dichte der Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ .

Entsprechend beschreibe die ZV Y die Dichte der Ereignisse $\begin{eqnarray*} B_i, i\in \{0..4\} \end{eqnarray*}$ .

Was ich suche ist die Dichte der ZV Z, die die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_i und B_i \end{eqnarray*}$ beschreibt.

Mein Problem ist, dass, wenn ich stochastiche Unabhängigkeit annehme,
$\begin{eqnarray*} P(Z=A_i und B_i) = P(X=A_i) * P(Y=B_i) \end{eqnarray*}$ ,
ich keine gültige Dichte bekomme. Daraus wurde bereits gefolgert, dass X und Y nicht statistisch unabhängig sind. Leider kenne ich die bedingten W'keiten $\begin{eqnarray*} P(X=A_i|Y=B_i) \end{eqnarray*}$ nicht. Was ich weiß ist, dass $\begin{eqnarray*} P(X=A_i|Y=B_j), i \neq j \end{eqnarray*}$ Null ist.

Ich hoffe es ist jetzt klar, was gemeint ist.

Wie komme ich hier weiter?

15.09.2010, 10:34

René Gruber

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Eine richtige Verbesserung gegenüber der ersten Erklärung kann ich leider nicht erkennen. Was nun aber mehr als deutlich wird, dass du die Begriffe "Ereignis" und "Zufallsgröße" sowohl verbal als auch formelmäßig durcheinanderbringst. Und deswegen ist mir dein Anliegen beim besten Willen völlig unklar. unglücklich

16.09.2010, 11:44

kannNichts

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Ok, ist ja auch nicht so wichtig. Danke.

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