Vollständige Induktion (Annahme und Schluss)

13.09.2010, 14:40

Bulkatho

Vollständige Induktion (Annahme und Schluss)

Hallo!

Heute wurde bei mir die vollständige Induktion erklärt.
Zur Übung haben wir Aufgaben bekommen, an denen ich nun etwas feststecke.

Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

Für n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1 gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^3 = \frac{n² (n+1)²}{4} \end{eqnarray*}$

Der Induktionsanfang ist demnach bei n = 1, wobei eine wahre Aussage herauskommt.
Wie formuliere ich nun die Induktionsannahme? Meine Idee ist, dass ich entweder jedes n aus der Aussage durch ein (n+1) ersetze oder aber die Aussage abschreibe und hinten dran ein (n+1) anfüge.

13.09.2010, 14:54

Kühlkiste

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RE: Vollständige Induktion (Annahme und Schluss)
Es ist zu zeigen, dass unter der Voraussetzung von

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^nk^3=\frac{n^2(n+1)^2}4 \end{eqnarray*}$

auch folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}k^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}4. \end{eqnarray*}$

13.09.2010, 14:55

Cel

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RE: Vollständige Induktion (Annahme und Schluss)
Deine Induktionsannahme bzw. deine Induktionsvoraussetzung ist

Zitat:

Original von Bulkatho
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^3 = \frac{n² (n+1)²}{4} \end{eqnarray*}$

für ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Jetzt machst du den Induktionsschritt, setzt also links statt n (n+1) ein. Lass dann die Summe nur bis n gehen und schreib den letzten Summanden einzeln mit auf. Dann kannst du deine Induktionsannahme nutzen.

13.09.2010, 18:53

Bulkatho

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RE: Vollständige Induktion (Annahme und Schluss)
Ich habe nun aus

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^3 = \frac{(n+1)² (n+2)²}{4} \end{eqnarray*}$

nach einigen Schritten der Umformung das hier geschaffen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^3 = \frac{n² (n+1)²}{4}+ (n+1)³ \end{eqnarray*}$

Bin ich mit diesem Schritt fertig?

14.09.2010, 06:18

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion (Annahme und Schluss)
Erstmal muß es $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^3 = \frac{(n+1)^2 (n+2)^2}{4} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4}+ (n+1)^3 \end{eqnarray*}$ heißen.

Im Prinzip bist du damit fertig. Von der Beweismethodik her, wäre es geschickt, wenn du den Induktionsschritt so zusammenfaßt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^3 = \sum\limits_{k=1}^n k^3 + (n+1)^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4} + (n+1)^3 = \frac{(n+1)^2 (n+2)^2}{4} \end{eqnarray*}$

wobei das aufgrund fehlender Zwischenschritte arg abgekürzt ist.

15.09.2010, 10:28

Bulkatho

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Also damit hast du mir echt sehr geholfen.
Nun ist mir einiges klar.

Ich bedanke mich sehr herzlich.

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