Gödel, Widerspruchsbeweise - Seite 2 |
| 17.09.2010, 16:14 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn ein Beweis gefunden wurde, dass die Aussage weder beweis- noch widerlegbar ist, heisst das dann nicht automatisch, dass man eben einfach kein Gegenbeispiel finden kann? |
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| 17.09.2010, 16:20 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Meinung hierbei ist wohl, dass es nicht dasselbe sei, ob man ein Gegenbeispiel rein zufällig, ohne logisches Vorspiel findet oder ob man durch strenges mechanisches Anwenden der Kalkülregeln auf ein Gegenbeispiel stösst (stossen muss, gestossen wird). (Ich kann mich allerdings mit diesem Gedanken nicht anfreunden: Wenn man alle abzählbar-vielen durchnummerierten Kandidaten der Reihe nach ausprobiert, ist das ja auch systematisch und man kann keinen Verstoss gegen Kalkülregeln sehen. Oder doch?) |
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| 17.09.2010, 16:24 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auch eine gute Frage! Also, ich bin ja beileibe kein Experte bei diesen Grundlagenfragen. Aber so interpretiere ich den Cohen-Beweis zur Kontinumshypothese. Es gibt unterschiedliche Modelle zu den Peanoaxiomen. In den einen gilt KH, in den anderen nicht. Also könnte das auch bei der Goldbachhypothese so sein. Es mag Gründe geben, weshalb man so nicht argumentieren kann. Dann bin ich aber definitiv überfragt und für jeden Hinweis dankbar. Diese Fragen gehen an den Rand meines Verständnisses. Aber genau deshalb finde ich sie wohl so interessant. |
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| 17.09.2010, 16:34 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das sage ich doch. Ist das nicht der Kern des angeblichen oder tatsächlichen Sachverhalts, dass es nach Gödel Aussagen gibt, die weder beweisbar noch widerlegbar sind, aber trotzdem wahr sind. Um es zu wiederholen, das ist ein Gebiet, auf dem ich mich mehr als unsicher fühle. |
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| 17.09.2010, 17:02 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
http://de.wikipedia.org/wiki/Goodstein-Folge |
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| 17.09.2010, 17:13 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für den Hinweis! Einerseits bestätigt das meine Auffassung. Andererseits ist es ein ziemlicher Unterschied, das Beispiel zu lesen und das Beispiel wirklich zu verstehen. Falls du dich also auf diesem Gebiet auskennst, wäre ich für Erläuterungen, die bei mathematischem Fußvolk wie mir das Verständnis erleichtern, wirklich dankbar. |
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| 17.09.2010, 19:40 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn jemand die Unabhängigkeit der Goldbachvermutung von PA nachweisen kann, bedeutet das für mich folgendes: 1) Im Standardzweig der natürlichen Zahlen findet man kein Gegenbeispiel (in keinem Modell), also wird es auch keinen Algorithmus geben, der alle Zahlen durchprobiert und ein Gegenbeispiel findet. 2) Es gibt ein Nichtstandardmodell der PA, in dem es ein Gegenbeispiel im Nichtstandardzahlbereich gibt.
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| 17.09.2010, 20:48 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin auf diesem Gebiet auch kein Experte, meine aber gehört zu haben, dass es beides gibt. Gödel zeigte in seinem Beweis, soviel ich weiß, dass es wahre Aussagen gibt, die nicht bewiesen werden können (In dem jeweiligen Axiomensystem). Hierunter fällt wohl mein Beispiel. Damit gäbe es auch falsche Aussagen, die nicht widerlegt werden können. Es gibt aber wohl auch Beispiele (das Auswahlaxiom?), wo man axiomatisch sowohl festlegen kann, das dieses wahr ist, aber auch das es falsch ist. |
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| 18.09.2010, 11:04 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soviel ich weiß, ist das falsch. Nach Gödel gibt es ... wahre Aussagen, die nicht bewiesen werden können. Daraus folgt nicht, dass es falsche Aussagen gibt, die nicht widerlegt werden können. |
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| 18.09.2010, 11:14 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Doch das folgt: Wenn A nicht beweisbar ist, dann ist Nicht_A nicht widerlegbar. (Oder: Wenn Nicht_A widerlegbar ist, wäre A bewiesen.) |
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| 18.09.2010, 11:55 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So einfach geht das nicht. Mathematik ist ein Prozess und der Gödelsche Beweis hängt mit Problemen bei Turing-Maschinen zusammen. Die vollständige unendliche Liste der falschen Aussagen ist nicht einfach da, sondern wird erzeugt, und du musst unendlich lange warten, bis die nicht beweisbare wahre Aussage A als Negation -(-A) auftritt. |
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| 18.09.2010, 12:06 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es geht hier nicht um die ENTSCHEIDBARKEIT einer Theorie. |
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