Stammfunktion von 1/x

07.11.2006, 19:29	rwke	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion von 1/x Hallo zusammen, ich schreibe morgen Mathe und habe mir deshalb mal selbst kreative Aufgaben ausgedacht. Dazu zählt unter anderem die Funktion f(x) = 1/x. f(x) = 1/x demnach F(x) = x^-1+1 = x^0 = 1 Ist das logisch? Ich verstehe nicht ganz wie man davon ein Integral berechnen könnte, geht dies vielleicht nur mit der Ober- bzw. Untersumme oder was mache ich falsch? Ich würde mich über Antworten freuen. Gruß rwke
07.11.2006, 19:30	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
es ist einfach $\begin{eqnarray} \int~\frac{1}{x}~dx=\ln\mid x\mid +c \end{eqnarray}$ bei deiner rechnung hast du einen wichtigen punkt vergessen, nämlich beim integrieren der potenzfunktion noch durch den neuen exponenten zu teilen, damit wäre: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+1}x^{n+1} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} n=-1 \end{eqnarray}$ ergäbe sich: $\begin{eqnarray} \frac{1}{0}x^0 \end{eqnarray}$ was aber natürlich nicht sein kann, denn division durch $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ist nicht erlaubt
07.11.2006, 19:42	rwke	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vielen Dank dafür schon einmal. Nun stellt sich aber mir die Frage, da es ja Bereiche in der Funktion gibt, die man berechnen kann, jedoch nicht mit dem herkömmlichen Verfahren der Stammfunktionsbildung und der daraus folgenden Integralberechnung. Geht das schon in die höhere Mathematik oder ist das auch mit "herkömmlichem" Wissen aus einem GK der Klasse 12 zu lösen?
07.11.2006, 19:46	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
ehrlich gesagt weiss ich nicht so genau, was du damit meinst, bereiche in der funktion zu berechnen. falls du flächen unterhalb des funktionsgraphen meinst, das geht hier wie mit jeder anderen funktion auch, also $\begin{eqnarray} \int\limits_{a}^{b}~f(x)~dx=F(b)-F(a) \end{eqnarray}$ falls du den flächeninhalt meinst, wenn zb. eine grenze die null sein soll, so muss man dies durch grenzwertbildung betrachten
07.11.2006, 19:57	rwke	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, ich meine wenn eine Grenze 0 ist. War etwas schlecht ausgedrückt. Beispielsweise das Intergral über dem Intervall [0;1]. Wie ginge das zu lösen?
07.11.2006, 20:00	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
also du meinst konkret das uneigentliche integral: $\begin{eqnarray} \int\limits_{0}^{1}~\frac{1}{x}~dx=\left[\ln(x)\right]_{0}^{1}=\ln(1)-\lim_{a\to 0}\ln(a)=-\lim_{a\to 0}\ln(a)\to\infty \end{eqnarray}$ das bedeutet, dass dies keinen endlichen flächeninhalt besitzt und somit das integral nicht existiert.
Anzeige

07.11.2006, 20:11	rwke	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, diese Form des Logarithmus haben wir thematisch noch nicht behandelt, deshalb steige ich da auch nicht durch. Auf jeden Fall, vielen Dank für die schnelle und kompetente Hilfe!
07.11.2006, 20:21	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist keine spezielle form, das ist der logarithmus, den du kennst ! bzw. ist hier speziell der natürliche logarithmus, also der zur basis $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ (eulersche zahl) gemeint, das ist alles. nachvollziehen kannste das relativ einfach, wenn du dir den graphen von $\begin{eqnarray} g(x):=\ln(x) \end{eqnarray}$ anschaust

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »