Wurzelfunktion ableiten

13.09.2010, 20:57

littleboy1111

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Wurzelfunktion ableiten

Meine Frage:
Guten Abend alle zusammen.
Ich versuche das gerade mit dem ableiten von Wurzelfunktion zu verstehen, schaffe es aber irgend wie nicht. Da ich das damals in der Schule nicht hatte und aus dem Mahteduden nicht so richtig schlau werde hoffe ich Ihr könnt mir weiter helfen.

Meine Ideen:
Also wenn ich die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ habe, soll ich es am besten ermaö um wandeln.
Dann hätte ich also $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ oder?
und abgeleitet wäre es dann $\begin{eqnarray*} f´(x)=x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ oder?
und wie schreibe ich das dann wieder als wurzel?

13.09.2010, 21:05

Pelie

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Deine Ableitung stimmt leider nicht ganz.
f(x)=x^a
f'(x)=a*x^(a-1)

13.09.2010, 21:19

littleboy1111

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Ja das hab ich mir schon gedacht.
hab ich den richtig umgewandlt? und kannst du mir erklären wie man auf die richtige ableitung kommt? Ich hab ja im prinzip a-1 gemacht ( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} =a; \frac{1}{2}- 1 =-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

13.09.2010, 21:31

Pelie

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Zitat:

Original von Pelie
f'(x)=a*x^(a-1)

Du hast bis jetzt nur das x^(a-1) Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.09.2010, 21:42

littleboy1111

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Ja jetzt seh ich hab den rest vergessen hin zu schreiben.
Also sieht es dan so aus $\begin{eqnarray*} f´(x)=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Und wie müste ich es dann als wurzel wieder schreiben?

13.09.2010, 21:58

Pelie

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} } = \frac{1}{2} (x^{\frac{1}{2} })^{-1} \end{eqnarray*}$
aus dem x^1/2 eine Wurzel machen und dann das ganze mit
a^-1 = 1/(a^1)
Zusammenfassen.

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13.09.2010, 22:36

littleboy1111

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Das müsste dann ja erst so aus sehen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (\sqrt{x})^{-1} \end{eqnarray*}$
Dann so:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$
oder?

14.09.2010, 08:21

klarsoweit

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Ja.

15.09.2010, 16:49

littleboy1111

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Ich ab mal noch ne Frage zum ableiten.
Ich probleme die Folgende Aufgabe abzuleiten $\begin{eqnarray*} f(x)=3-x^{2}+7\sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$
der erst teil ist kalr nur die wurzel macht mir probleme.

So mein Anstatz ist erst mal um zu wandeln, dann hätte ich: $\begin{eqnarray*} 7*x^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$

nun würde ich a-1 machen, dann hätte ich: $\begin{eqnarray*} \frac{7}{3} *x^{-\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$
Ich glaube bis hier ist alles richtig bin mir aber nicht sicher. Mein Problem nun ist wie muss ich die 2/3 umwandeln? Kann mir das jemand erklären?

15.09.2010, 16:54

Johnsen

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Deine Ableitung ist richtig! und bedenke folgendes:

$\begin{eqnarray*} x^{-\frac{2}{3} } = (x^{\frac{1}{3}})^{-2}= (\sqrt[3]{x})^{-2}=... \end{eqnarray*}$

Denke an den Kehrbruch und was ^(-2) bedeutet! Vielleicht hilft dir das schon weiter!

15.09.2010, 17:21

littleboy1111

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okay das hilft schon mal ein bischen. Ich mach einfach mal weiter wie ich denke:
$\begin{eqnarray*} \frac{7}{3\sqrt[3]{x} } \end{eqnarray*}$ und nun noch die ^(-2)
$\begin{eqnarray*} \frac{7}{3\sqrt[3]{x} } \end{eqnarray*}$ wird das dann so?

15.09.2010, 17:22

littleboy1111

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Oh hab das falsche eingefügt also mit ^(-2) würde ich es jetzt so haben $\begin{eqnarray*} \frac{7}{3\sqrt[3]{x^{2} } } \end{eqnarray*}$

15.09.2010, 17:38

Johnsen

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Ja das stimmt so!

15.09.2010, 18:50

littleboy1111

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So vielleicht könnt ihr mir auch bei fogender Aufgabe helfen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{x^{2} }+5x\sqrt[4]{x^{3} } \end{eqnarray*}$
gesucht ist die erste Ableitung

mein Ansatz wäre erst mal um wandeln, dann hätte ich: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-\frac{2}{3} }+5x*x^{-\frac{3}{4} } \end{eqnarray*}$

nun würde ich a-1 machen, worauf hin ich folgendes habe: $\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{2}{3} x^{-\frac{5}{3}}+5x*(-\frac{3}{4}) x^{-\frac{7}{4} } \end{eqnarray*}$

Ist das den bis hier hin erstmal richtig? Nun habe ich nämlich ein Problem mit dem zusammenfassen, da ich nicht so richtig weiß was ich mit den 5x machen soll

15.09.2010, 18:53

Johnsen

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Warum hast du denn ein minus in jedem Exponent? das würde ja heißen, dass da ein Bruch wäre!

15.09.2010, 18:55

Danip159

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Ein kleiner Tipp:

Wenn du:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-\frac{2}{3} }+5x*x^{-\frac{3}{4} } \end{eqnarray*}$
hast.

kannst du hinten das $\begin{eqnarray*} 5x*x^{-\frac{3}{4} } \end{eqnarray*}$ umformen, dass da nur ein x mit einer Hochzahl steht. so brauchst du keine Produktregel smile

smile

Bsp: $\begin{eqnarray*} x^2*x^3 = x^{2+3} \end{eqnarray*}$
Wie würde das dann bei dir ausschaun?

15.09.2010, 19:06

littleboy1111

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Naja weil ich das oben ander rum auch hatte und du geschrieben hast es sei richtig.
Ich mach es auch nochmal Schritt für Schritt:
1.: $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}+5x\sqrt[4]{x^{3} } \end{eqnarray*}$
2.: $\begin{eqnarray*} f(x)=(x^{\frac{1}{3}})^{-2}+5x(x^{\frac{1}{4} })^{-3} \end{eqnarray*}$
3.: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-\frac{2}{3}}+5x*x^{-\frac{3}{4} } \end{eqnarray*}$

oder is das falsch?

15.09.2010, 19:10

littleboy1111

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Jetzt zu deiner Frage Danip159

Ich hätte dann $\begin{eqnarray*} 5x^{(1-\frac{3}{4}) } \end{eqnarray*}$

15.09.2010, 19:10

Johnsen

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{x^{2}} = \left(x^2\right)^{\frac{1}{3}} = x^{2\cdot \frac{1}{3}}= x^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

Warum sollte da ein minus ins Spiel kommen?

15.09.2010, 19:19

littleboy1111

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Weil du vorhin das geschrieben hast

Zitat:

Original von Johnsen
Deine Ableitung ist richtig! und bedenke folgendes:

$\begin{eqnarray*} x^{-\frac{2}{3} } = (x^{\frac{1}{3}})^{-2}= (\sqrt[3]{x})^{-2}=... \end{eqnarray*}$

Denke an den Kehrbruch und was ^(-2) bedeutet! Vielleicht hilft dir das schon weiter!

und ich dann das

Zitat:

Oh hab das falsche eingefügt also mit ^(-2) würde ich es jetzt so haben $\begin{eqnarray*} \frac{7}{3\sqrt[3]{x^{2} } } \end{eqnarray*}$

und du dann das

Zitat:

Ja das stimmt so!

15.09.2010, 19:20

Danip159

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@littleboy, mein Tippchen hilft dir erst wirklich was, wenn du richtig umgewandelt hast smile

smile

Wenn du x*x drin hast, dann bräuchtest du die produktregel smile

smile

/edit:
$\begin{eqnarray*} x^{-\frac{2}{3} } = (x^{\frac{1}{3}})^{-2}= (\sqrt[3]{x})^{-2}=... \end{eqnarray*}$

Wenn du einen negativen Exponenten wird der positiv, wenn du Zähler mit Nennen (bzw umgekehrt) vertauschst!

also bei:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt[3]{x})^{-2}=\frac{1}{(\sqrt[3]{x^2})} \end{eqnarray*}$

Du hastbei deiner Aufgabe hier aber nirgends ein Minus, also muss auch nicht Zähler mit Nenner vertauscht werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.09.2010, 19:21

littleboy1111

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und ich das halt genauso zurück gemacht habe. Deswegen dachte ich da muss ein Minus vor den Exponenten.

15.09.2010, 19:24

Johnsen

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Nein, hier muss kein - vor den Exponenten, weil ja hier kein Bruch vorkommt.

Und vorher bei der Ableitung stand dann $\begin{eqnarray*} x^{-\frac{2}{3}}= \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \end{eqnarray*}$

Und dann kommt das heraus, was du hattest.

15.09.2010, 19:30

littleboy1111

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Gut okay. Hab halt immer so meine Probleme mit Potenzen und Wurzeln.

Dann müsste also richtig so umgewandelt werden: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{\frac{2}{3}}+5x*x^{\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$

15.09.2010, 19:32

Danip159

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Genau!

smile

Nun kommt der Tipp von mir, damit das x*x verschwindet Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Weisst du was die Produktregel ist?)

15.09.2010, 19:34

littleboy1111

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Dann befolg ich mal Danip159 seinen Tip:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{\frac{2}{3}}+5x^{1+\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$

Dann ableiten: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}+(5*\frac{7}{4}) x^{\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$

oder?

15.09.2010, 19:35

littleboy1111

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Zitat:

Original von Danip159

(Weisst du was die Produktregel ist?)

Ja: u`*v+u*v`

15.09.2010, 19:37

littleboy1111

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sollte ich die vielleicht mal anwenden???? smile

smile

15.09.2010, 19:38

Danip159

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Zitat:

Original von littleboy1111
Dann befolg ich mal Danip159 seinen Tip:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{\frac{2}{3}}+5x^{1+\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$

Dann ableiten: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}+(5*\frac{7}{4}) x^{\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$

oder?

Kannst auch gleich
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{\frac{2}{3}}+5x^{\frac{7}{4}} \end{eqnarray*}$
schreiben smile

smile

Jup, soweit stimmts Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nur heißts f' und nicht f smile

smile

/edit: wenn du die x "zusammennimmst" brauchst du die Produktrgel nicht. Wenn du möchtest kannst du auch die Produktregel verwenden. Dann musst du aber mit 5x*x^(3/4) rechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nun kannst du das Ergebnis noch verschönern Big Laugh

Big Laugh

15.09.2010, 19:39

littleboy1111

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ja da waren die finger wieder schneller als der Geist smile

smile

15.09.2010, 19:44

littleboy1111

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weiter zusammen gefasst: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2}{3\sqrt{x} } +\frac{35}{4 \sqrt[4]{x^{3} }} \end{eqnarray*}$

und siehe da das sthet auch in der Lösung!

Danke schön Leute Freude

Freude

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