b eindeutig aus quadr. Form bestimmen

14.09.2010, 11:34

pablosen

b eindeutig aus quadr. Form bestimmen

Guten Tag

Ich habe hier noch folgenden Beweis zu erbringen.

Sei V ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b: V \times V \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine symmetrische Bilinearform, $\begin{eqnarray*} q: V \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} q(v) := b(v,v) \end{eqnarray*}$ . Man zeige, dass $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ eindeutig aus $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ bestimmt werden kann.

Was ich bisher habe: Eine reelle sym. Bilinearform zerfällt in verschiedene Linearfaktoren, ist also Diagonalisierbar. Die Basis von V lässt sich also auch als Basis bestehend aus Eigenvektoren von b darstellen. Ausserdem ist q(v) = b(v,v) so auch eine quadratische Form (Form vom Grad 2). Aber wie weiter?

Ein weiterer Tipp ist, dass:

$\begin{eqnarray*} b(v,w)=\frac{q(v+w)-q(v)-q(w)}{2} \end{eqnarray*}$

für b(v,v) ist das:
$\begin{eqnarray*} b(v,v)=\frac{q(2v)-2q(v)}{2}= \frac{4q(v)-2q(v)}{2}=\frac{2q(v)}{2}=q(v) \end{eqnarray*}$

Aber wie zeige ich die Eindeutigkeit?
Grüsse

14.09.2010, 17:05

Reksilat

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RE: b eindeutig aus quadr. Form bestimmen
Hi pablosen,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} b(v,w)=\frac{q(v+w)-q(v)-q(w)}{2} \end{eqnarray*}$

Hier hast Du doch schon eine eindeutige Vorschrift, wie Du b aus q berechnen kannst. Du musst nur noch deren Gültigkeit zeigen.

Gruß,
Reksilat.

14.09.2010, 18:16

pablosen

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RE: b eindeutig aus quadr. Form bestimmen
Danke.

$\begin{eqnarray*} <br /> v,w \in V, dim(V)=n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b(v,w) =b(v,v)+b(v,w)+b(w,w) - b(v,v) - b(w,w) = \frac{( b(v,v)+2 b(v,w)+b(w,w) - b(v,v) - b(w,w) )}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{( \underbrace{b(v,v)+2 b(v,w)+b(w,w)}_{=b(v+w,v+w)=q(v+w)} - \underbrace{b(v,v)}_{=q(v)} - \underbrace{b(w,w)}_{=q(w)} )}{2} = \frac{q(v+w)-q(v)-q(w)}{2}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Ist das bis hierher mal korrekt?

14.09.2010, 18:24

Reksilat

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RE: b eindeutig aus quadr. Form bestimmen
Passt so! Freude