Aufgabe zur Mengenlehre

14.09.2010, 14:38

Danip159

Aufgabe zur Mengenlehre

Hi, ich hab ein Beispiel zur Mengenlehre, aber keine Lösungen dazu :/

Die Aufgabe dürfte nicht allzuschwer sein, aber wär super, wenn jemand meine Ergebnisse überfliegen könnte und schaun ob sie richtig sind smile

Merci!

Aufgabe:

Zitat:

Gegeben sind die Mengen $\begin{eqnarray*} A=\left\{1,2,3,4,5\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\left\{4,5,6,7\right\} \end{eqnarray*}$

Geben Sie an welche Aussagen zutreffen. J für Ja und N für Nein.

5 ist Element von...
$\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ - J
$\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ - J
$\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ - J
A\B - N

{2,3} ist Teilmenge von...
$\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ - J
$\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ - N
$\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ - J
A\B - J

{1,4} ist Element von...
$\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ - N
$\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ - N
$\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ - J
A\B - N

Bei den ersten beiden bin ich mir ziemlich sicher, dass das so passen sollte (außer ich hab was falsch verstanden^^).
Bei der Dritte denke ich, wenn {1,4} als Element behandelt wird, dann kanns eigentlich nur für die Potenzmenge P(A) gelten oder? Also prinzipiell wenn ich eine mehrere Elemente zu einem Element zusammenfasse (bzw eine Teilmenge zu einem Element wie hier), dann kann sie nur noch als Element in einer Potenzmenge vorkommen, richtig?

Merci smile

14.09.2010, 15:24

Mazze

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Du hast einige Fehler, aber vieles richtig. Zunächst einmal ist die Potenzmenge eine Menge von Mengen. Die Elemente der Potenzmenge sind Mengen , keine Zahlen. Daher kann die Frage :

$\begin{eqnarray*} 5 \in P(A) ? \end{eqnarray*}$

nur mit nein beantwortet werden.

Andersrum verhält es sich bei der Menge {2,3}. Wenn {2,3} eine Teilmenge der Potenzmenge von A wäre, dann müsste jedes Element aus {2,3} als Element in P(A) vorkommen. Das würde bedeuten dass

$\begin{eqnarray*} 2 \in P(A) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} 3 \in P(A) \end{eqnarray*}$

gelten müsse. Wie wir aber aus dem Teil mit der 5 wissen, ist das falsch, damit ist {2,3} keine Teilmenge der Potenzmenge von A.

Der Rest ist richtig.

14.09.2010, 15:38

Danip159

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Hm? Oje, ich hab mir das mit der Potenzmenge eigentlich so gedacht:

Die Potenzmenge ist einfach alle möglichenTeilmengen einer Menge:

Bsp:
Die Menge A ={1, 2, 3}

Alle möglichen Teilmengen wären hier:
{}
{1}
{2}
{3}
{1,2}
{1,3}
{2,3}
{1,2,3} = A

Denn es gilt ja: |P(A)| = 2^|A|
in diesem Fall hat P(A) 8 Elemente (die oben genannten) und 2^3 = auch 8.

Sry wenn ich nochmal fragen muss, warum darf ich hier 5 nicht als einzelnes Element von A betrachten? Weil die geschwungenen Klammern fehlen? :S dann wäre {5} ein Element von P(A)?

Zu {2, 3}:
ich nehm mal obiges Beispiel von mir:

P(A)={ {}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} } Hier ist das Element {2, 3} doch eine Teilmenge? Ein einzelnes Element kann doch auch Teilmenge von einer Menge sein? :S

Also bei: X={1,2,3} wäre ein einzelnes Element (zB 1) keine Teilmenge? :S Hab grad garkeinen Durchblick mehr..

Ok. könntest du mir vl kurz erklären, wos bei mri hapert? Wahrscheinlich versteh ich die Potenzmenge doch nciht so wie ich mri das erträumt hatte :/

14.09.2010, 15:45

Mazze

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Zitat:

Sry wenn ich nochmal fragen muss, warum darf ich hier 5 nicht als einzelnes Element von A betrachten? Weil die geschwungenen Klammern fehlen? :S dann wäre {5} ein Element von P(A)?

Salopp gesagt, ja. Die 5 ist keine Menge und {5} ist die Menge die die 5 enthält. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} 5 \in \{5\} \end{eqnarray*}$

falsch ist

$\begin{eqnarray*} 5 \in P(\{5\}) \end{eqnarray*}$

Zitat:

P(A)={ {}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} } Hier ist das Element {2, 3} doch eine Teilmenge? Ein einzelnes Element kann doch auch Teilmenge von einer Menge sein? :S

Du hast den Begriff von Element und Teilmenge einer Menge nicht richtig verstanden. Eine Menge A heisst Teilmenge von B, wenn jedes Element aus A auch in B als Element vorkommt. Beispiel

A = {1,2}, B = {1,2,3}

Dann ist A eine Teilmenge von B, denn $\begin{eqnarray*} 1 \in B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \in B \end{eqnarray*}$

Jetzt zu deinem Beispiel. Es ist B = {2,3}. Damit jetzt $\begin{eqnarray*} B \subset P(A) \end{eqnarray*}$ gilt, muss

$\begin{eqnarray*} 2 \in P(A) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} 3 \in P(A) \end{eqnarray*}$

gelten. Und das stimmt nicht.

14.09.2010, 15:59

Booker

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Die Potenzmenge von A ist die Menge aller Mögleichen Teilmengen von A, also eine Menge von Mengen...

$\begin{eqnarray*} \{2,3\}\notin A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{2,3\}\subset A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{2,3\}\in P(A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{\{2,3\}\}\subset P(A) \end{eqnarray*}$

14.09.2010, 15:59

Danip159

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Achso, da P(A) keine Zahlen als Elemente hat (wie hier 2 oder 3) sondern Mengen?

Also müssts heißen:
{ {2}, {3} } ist element von P(A)?

Gut, habs verstanden Augenzwinkern

Danke Mazze!

/edit:

Booker:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \{2,3\}\notin A \end{eqnarray*}$ <- da A keine Mengen als Elemente hat
$\begin{eqnarray*} \{2,3\}\subset A \end{eqnarray*}$ <- die Elemente 2 und 3 kommen in A vor
$\begin{eqnarray*} \{2,3\}\in P(A) \end{eqnarray*}$ <- Die Menge ist ein Element von P(A) Da P(A) nur Mengen als Elemente hat
$\begin{eqnarray*} \{\{2,3\}\}\subset P(A) \end{eqnarray*}$ Die Menge 2,3 ist eine Teilmende von P(A) aber nicht die Zahlen an sich

Ich hoff das passt so? smile

14.09.2010, 16:00

Mazze

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Zitat:

Also müssts heißen:
{ {2}, {3} } ist element von P(A)?

nein, das ist falsch, es ist

$\begin{eqnarray*} \{2,3\} \in P(A) \end{eqnarray*}$ aber

$\begin{eqnarray*} \{2,3\} \not \subset P(A) \end{eqnarray*}$

edit:

Bookers beitrag erklärts ja deutlich!

14.09.2010, 16:02

Booker

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Zitat:

Original von Danip159
Also müssts heißen:
{ {2}, {3} } ist element von P(A)?

Nein { {2}, {3} } ist eine Teilmenge von P(A) und {2} und {3} sind Elemente von P(A).

edit:

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