Aufgabe zur Mengenlehre 2

14.09.2010, 14:55

Danip159

Mist.. zu langsam...
/edit: Eine weitere Aufgabe bei der ich allerdings keinen Durchblick hab hätte ich auch noch:

Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt. Zeigen Sie, daß die folgenden Mengen gleichmächtig sind.

a)
$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {0,1} \end{eqnarray*}$
b)
$\begin{eqnarray*} {z \in C : | z | = 1} \end{eqnarray*}$ und {0,1}
c)
$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$

Ok.. zu a)
Da R ja wesentlich mehr Elemente besitzt als die Menge (0,1) können die beiden doch nicht bejektiv sein oder?

zu b)
die erste Menge ist {-1, 1} oder? Hier hätten beide zwar gleich viele Elemente, aber kann ich -1 zuweisen auf 0 (der zweiten Menge)? und 1(erste Menge) zuweisen auf 1(zweiten Menge)?

für c)
hier hab ich doch in den komplexen Zahlen auch einige Elemente, die ich den Elementen der Menge R nicht zuordnen kann oder?

Ich bräuchte hier dringend Erklärungen, denn aus Wiki werd ich nicht schlau.

Merci smile

/edit: hmm? Wie kommt der Post denn jetzt ins "Sonstige"?? :/ hab eigentlich auf antworten geklickt ...

14.09.2010, 15:27

Booker

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zu a)
Interressant $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ besitzt mehr Elemente als (0,1), was ist denn mehr als unendlich viele? Aber du hast recht, die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist größer als die von (0,1). Augenzwinkern

zu b)
Es liegen ein paar mehr Elemente auf dem komplexen Einheitskreis als nur 2. Es gibt aber eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} : | z | = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ .

zu c)
Genau $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ist gleichmächtig zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , aber nicht zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

14.09.2010, 15:39

Mazze

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Zitat:

Interressant besitzt mehr Elemente als (0,1), was ist denn mehr als unendlich viele? Aber du hast recht, die Mächtigkeit von ist größer als die von (0,1)

Das stimmt nicht. Folgende Funktion ist eine Bijektion

$\begin{eqnarray*} f : \left(0,\pi\right) \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \mapsto \tan\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Daraus lässt sich eine Bijektion von (0,1) nach R konstruieren. Tatsächlich sind die Mengen (0,1) und R gleichmächtig. Das Resultat erstaunt so ziemlich jeden der dass zum ersten mal ließt, lässt sich aber einwandfrei beweisen.

14.09.2010, 15:46

Danip159

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Zitat:

Original von Booker
zu a)
Interressant $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ besitzt mehr Elemente als (0,1), was ist denn mehr als unendlich viele? Aber du hast recht, die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist größer als die von (0,1). Augenzwinkern

^^ a) versteh ich von dir nicht:P klar hat R unendlich viele Elemente. Aber (0, 1) hat doch nur 2?^^ - oder meint man hier ein Intervall von 0 bis 1?

Nochmal kurz, dass ich das verstanden hab: Gleichmächtig bedeutet einfach nur gleich viele Elemente oda? smile

zu c)
Also bei C gilt, dass alle Elemente aus R noch zusätzlich mit einem i versehen werden können. also auf jedes Element von R noch ein zweites fällt in C und deswegen C doppelt soviele (obwohl unendliche) Elemente hat wie R?

14.09.2010, 15:53

Mazze

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Zitat:

oder meint man hier ein Intervall von 0 bis 1?

(0,1) ist die übliche Schreibweise für das Interval von 0 bis 1 (ohne 0 und 1).

Zitat:

Gleichmächtig bedeutet einfach nur gleich viele Elemente oda?

Nein, zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn es eine bijektive FUnktion auf diesen Mengen gibt. Wenn Du nur endlich viele Elemente hast, kannst DU diese analogie gelten lassen.

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