Grenzwertbestimmung

07.11.2006, 19:55

Usefull Idiot

Grenzwertbestimmung

Hallo, ich stecke bei einer Aufgabe fest (siehe Anhang)

Ich bin soweit dass ich mit Hilfe der bernoullschen Ungleichung eine Ungleichung aufgestellt hab die wie folgt aussieht:
$\begin{eqnarray*} a_n \geq 1+n^{l-k} \end{eqnarray*}$

Komme da nicht weiter, kann mir jemand einen Denkanstoss geben?

Danke, Useful

07.11.2006, 20:14

Abakus

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RE: Grenzwertbestimmung
Erstmal zurückgefragt: wie hast du $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ definiert und was möchtest du damit zeigen ?

Grüße Abakus smile

07.11.2006, 20:14

Mathespezialschüler

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Das ist korrekt! Du kannst auch noch folgendes machen:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^k}\right)^{n^l}=\left(\left(1+\frac{1}{n^k}\right)^{n^k}\right)^{\frac{1}{n^{k-l}}} \end{eqnarray*}$ .

Weiß du evtl. schon, dass $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^k}\right)^{n^k}<3 \end{eqnarray*}$ gilt?

Gruß MSS

07.11.2006, 22:45

Usefull Idiot

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dankeschön erstmal MSS! smile

Habe mit deinen Tips nochmal über die Aufgabe gegrübelt, aber bin immer noch recht hilflos.
Das einzige was mir dabei aufgefallen ist, ist dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(1+\frac{1}{n^k}\right)^{n^k} = e \end{eqnarray*}$ ist? Bin ich mit dieser Erkenntnis auf dem richtigen Weg?

Gruss Useful smile

08.11.2006, 08:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Weiß du evtl. schon, dass $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^k}\right)^{n^k}<3 \end{eqnarray*}$ gilt?

Das stimmt zwar, hilft aber nicht, wenn man ein Sandwich zum vermuteten Grenzwert 1 machen will. Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes findet man eine geeignete Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^k}\right)^{n^l} = \sum_{i=0}^{n^l}~{n^l \choose i}\frac{1}{(n^k)^i} \leq \sum_{i=0}^{n^l}~\frac{(n^l)^i}{(n^k)^i} = \sum_{i=0}^{n^l}~\frac{1}{(n^{k-l})^i} \leq \sum_{i=0}^{n^l}~\frac{1}{n^i} \end{eqnarray*}$

Jetzt hat man eine hübsche geometrische Reihe mit dem passenden Grenzwert für n gegen unendlich. Augenzwinkern

08.11.2006, 16:56

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Weiß du evtl. schon, dass $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^k}\right)^{n^k}<3 \end{eqnarray*}$ gilt?

Das stimmt zwar, hilft aber nicht, wenn man ein Sandwich zum vermuteten Grenzwert 1 machen will.

Warum nicht? verwirrt

Es ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{k-l}}\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} k-l\geq 1 \end{eqnarray*}$ und damit:

$\begin{eqnarray*} a_n<3^{\frac{1}{n^{k-l}}}\leq 3^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{3} \end{eqnarray*}$

und letzteres geht gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ...

Gruß MSS

08.11.2006, 18:47

klarsoweit

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Ach herrje, da habe ich ja mal auf dem Schlauch gestanden. Hammer

Nun ja, da haben wir jetzt 2 Lösungsvarianten. Augenzwinkern

08.11.2006, 18:50

Mathespezialschüler

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Umso schöner. Kann sich Usefull Idiot eine aussuchen. smile

Gruß MSS

09.11.2006, 20:09

Usefull Idiot

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wunderbar, dankeschööön smile

habt mir sehr geholfen

hab jetzt ein neues grenzwertproblem:

$\begin{eqnarray*} x_n = \sqrt{9n^2+23n+47} - 3n \end{eqnarray*}$

Ich möchte wieder den Grenzwert bestimmen, komme aber immer nur soweit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}x_n = \infty - \infty = ??? \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das so umformen, dass ich den tatsächlichen Grenzwert 0 rauskriege?

Danke, Useful smile

10.11.2006, 08:58

klarsoweit

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Am besten machst du für neue Aufgabe auch einen neuen Thread auf.

Zur Frage: erweitere mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{9n^2+23n+47} + 3n \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

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