Bogenlänge einer Kuve berechnen

14.09.2010, 16:32

Steffi_K

Bogenlänge einer Kuve berechnen

Hallo zusammen,
ich habe da ein Problem mit einer Bogenlängenberechnung.

Bestimmen Sie die Bogenlänge s der Kurve:

y= f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x \cdot \sqrt{x} + 49 \end{eqnarray*}$ im Intervall 0<= x <= 4

mein Lösungsansatz:

y' = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

s = $\begin{eqnarray*} \int_0^4 \ \sqrt{ 1+ \left(\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2} }\right)² } \end{eqnarray*}$

Ich habe da auch ein Ergebnis, würde das aber sehr gerne bestätigt haben, da ich mir sehr, sehr unsicher bin.

Schöne Grüße, Steffi_K

14.09.2010, 16:43

AnalysisTutor

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RE: Bogenlänge einer Kuve berechnen
Bei mir kommt bei der Ableitung was anderes raus...nochmal nachrechnen!

14.09.2010, 16:49

Mulder

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RE: Bogenlänge einer Kuve berechnen
Oder ist

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x} +49 \end{eqnarray*}$

gemeint?

Und wenn du ein Ergebnis bestätigt haben möchtest, dann solltest du dieses vielleicht vorher mal mitteilen, Steffi_K.

14.09.2010, 16:58

Steffi_K

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Bogenlänge einer Kuve berechnen
Hej Mulder,

nein, hab doch 6 mal editiert, da stimmt jetzt alles Augenzwinkern

y= f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x \cdot \sqrt{x} + 49 \end{eqnarray*}$ im Intervall 0<= x <= 4

Und da: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

leite ich wie folgt ab:

y' = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

y'= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Ich habe kein Ergebnis genannt, um auszuschließen, dass ich das Ergebnis eines anderen beeinflusse. Mein Ergebnis lautet 3,xxxx

hälsningar (!?), Steffi_K smile

EDIT: AAAAAH, ich seh schon, geb mir nochmal ein paar Minuten Augenzwinkern

14.09.2010, 17:08

Steffi_K

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So, neuer Vorschlag...

y= f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x \cdot \sqrt{x} + 49 \end{eqnarray*}$ im Intervall 0<= x <= 4

Daraus errechnete ich:

y'= $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

s = $\begin{eqnarray*} \int_0^4 \ \sqrt{ 1+ x } \end{eqnarray*}$

S= 6,7xxxx

So, ich glaube nun hab ich es smile

14.09.2010, 17:11

AnalysisTutor

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Bei der Ableitung fehlt noch ein Faktor, und zwar: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

14.09.2010, 17:16

Steffi_K

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Zitat:

Original von AnalysisTutor
Bei der Ableitung fehlt noch ein Faktor, und zwar: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank, bin auch auch eben draufgestoßen, als ich zur Probe, von X, mal eine zahl eingesetzt habe,

So ist das Ergebnis auch nicht richtig. Ich habe leider aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ gemacht. Ist aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

So werd ich da nochmal beigehen...

14.09.2010, 17:24

Steffi_K

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Bogenlänge einer Kuve berechnen
So, nun aber...

s = $\begin{eqnarray*} \int_0^4 \ \sqrt{ 1+ \left(\frac{3}{4}x^{\frac{1}{2} }\right)² } dx \end{eqnarray*}$

also:

s = $\begin{eqnarray*} \int_0^4 \ \sqrt{ 1+ \frac{9}{16}x } dx \end{eqnarray*}$

S= 5,7588

14.09.2010, 17:27

AnalysisTutor

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RE: Bogenlänge einer Kuve berechnen
Ich weiß nicht, ob dein ungefährer Wert für das Integral stimmt. Das Integral jedenfalls stimmt so und man kann es ja auch genau ausrechnen (Stammfunktion an den Grenzen auswerten).

14.09.2010, 17:36

Steffi_K

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RE: Bogenlänge einer Kuve berechnen

Zitat:

Original von AnalysisTutor
Ich weiß nicht, ob dein ungefährer Wert für das Integral stimmt. Das Integral jedenfalls stimmt so und man kann es ja auch genau ausrechnen (Stammfunktion an den Grenzen auswerten).

Wie meinst du das, mit "Stammfunktion an den Grenzen auswerten"?

Ich habe nun die Stammfunktion ausgerechnet und dann halt "obere Grenze minus untere".

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{ax + b}\, dx = \frac{2}{3a} \sqrt{(ax + b)³} \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{2}{3\cdot \frac{9}{16} } \sqrt{(\frac{9}{16}x + 1)³}\right]_{0}^{4} \end{eqnarray*}$

14.09.2010, 17:42

AnalysisTutor

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RE: Bogenlänge einer Kuve berechnen
Genau so ist es. Fehlt nur noch ein bisschen Bruch-/Wurzelrechnen. smile

14.09.2010, 17:46

Steffi_K

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Hast du das Ergebnis nochmal kontrolliert?

als S= 5,7588

Auf jeden Fall möchte ich mich schonmal ganz, ganz herzlich bei euch bedanken!

Ihr habt mir wirklich sehr geholfen und ich freue mich, dass ihr mir so schnell geholfen habt, auch wenn ich hier der absolute Neuling bin!

Liebe Grüße, Steffi_K

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