Satz von Heine-Borel - offene Überdeckung |
| 14.09.2010, 16:57 | Verstehe-Nix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Satz von Heine-Borel - offene Überdeckung ich wollte den Satz von Heine-Borel verstehen. Um dies zu verstehen ist es jedoch unerlässlich den Begriff der Offenen Überdeckung zu verstehen. Daran happert es gerade. Ich vermute folgendes und würde gerne wissen ob ich damit richtig liege bzw, was genau falsch ist: Sei X eine nicht leere Menge. Dann ist eine Zerlegung. Die sind offen und der Durchschnitt zweier beliebiger ist nicht leer. Diese Zerlegung ist doch dann eine offene Überdeckung oder? Also deckt doch diese Zerlegung die Menge X ab und die einzelnen überlagern sich? gruß Verstehe nix |
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| 14.09.2010, 18:22 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn es dir nur um eine Definition geht, nutze doch einfach Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cberdeckung_(Mathematik) Du liegst schon nicht ganz falsch, ich würde allerdings nicht von einer "Zerlegung" sprechen. Eine "Zerlegung" würde ich es nennen, wenn die disjunkt sind. Das muss bei einer Überdeckung aber nicht der Fall sein. |
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| 14.09.2010, 22:25 | Verstehe-nix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also dann hab ich das korrekt interpretiert, nur das eben keine Aussage darüber gemacht wird, ob die einzelnen Teile der Überdeckung disjunkt sind oder nicht. dann bedeutet doch der Satz von Heine-Borel in Worten: Ich habe eine Menge X. Über diese versuche ich Teile von Menge drüber zu legen. Wenn es innerhalb dieser Überdeckung eine endliche Überdeckung gibt, (IST HIER GEMEINT MIT ENDLICH VIELEN MENGEN ODER DAS DIESER MENGEN SELBER ENDLICH SEIN MUESSEN???) dann ist meine Menge X kompakt? gruß V-n |
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| 15.09.2010, 11:02 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine kurze Frage: Wie habt ihr "kompakt" definiert? Für mich heißt eine Menge kompakt, wenn man aus JEDER offenen Überdeckung (endliche wie unendliche) eine ENDLICHE auswählen kann. Der Satz von Heine Borel lässt sich dann so formulieren: http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Heine-Borel Ich habe allerdings auch schon gesehen, dass das was ich als Definition verstehe, als Satz von Heine-Borel auftaucht... Also: Wie ist eure Definition von kompakt? |
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| 15.09.2010, 12:17 | Verstehe-nix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kompakt genau dann wenn abgeschlossen und endlich gruß V-n |
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| 15.09.2010, 12:23 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Abgeschlossen und endlich wohl kaum, wohl eher abgeschlossen und beschränkt? Wie habt ihr den Satz von Heine Borel denn GENAU formuliert? Wichtig ist nämlich, dass man sich im Klaren darüber ist, in welchen Räumen er gilt! |
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| 15.09.2010, 14:13 | Verstehe-nix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also wir haben ihn für den R^1 definiert: Satz von Heine Borel: Eine Teilmenge von R ist genau dann kompakt, wenn jede ihrer offenen Überdeckungen eine endliche Überdeckung enthält. Ich verstehe die Formulierung nicht, Deswegen wollte ich wissen ob ich das in worten richtig wieder gegeben habe. Nochmal: ____________________ Ich habe eine Menge X. Über diese versuche ich Teile von Menge drüber zu legen. Wenn es innerhalb dieser Überdeckung eine endliche Überdeckung gibt, dann ist meine Menge X kompakt? _____________________ |
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| 15.09.2010, 14:21 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Formulierung trifft es nicht ganz! Du hast verstanden, was eine offene Überdeckung ist? Gut! Wie schon erwähnt: Eine Menge X heißt kompakt, wenn du aus JEDER offenen Überdeckung eine ENDLICHE auswählen kannst. Das heißt: Egal was für eine (unendliche) offene Überdeckung der Menge ich dir vorgebe, kannst du endlich viele Mengen aus dieser Überdeckung auswählen, die immernoch eine Überdeckung von X bilden. WICHTIG: Es reicht NICHT, wenn es eine endliche offene Überdeckung für X gibt! Mir ist nicht ganz klar, was du mit
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| 15.09.2010, 14:45 | Verstehe-nix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah ok. also sozusagen wenn es nicht von der Überdeckung abhängt... |
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| 15.09.2010, 14:51 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In gewisser Weise ja. |
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| 15.09.2010, 14:58 | Verstehe-nix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vielen dank für deine geduld 
. das hilft mir weiter |
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