Maximaler Flächeninhalt eines Dreiecks unter einer Parabel |
| 14.09.2010, 18:04 | nucknuck | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Maximaler Flächeninhalt eines Dreiecks unter einer Parabel Ich soll den maximalen Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmen, gegeben sind die Funktion f(x)=(1/3)x²-(16/3)x+5 und die Punke P1(1|0) P2(13|-8) P3 soll so liegen, dass das Dreieck einen maximalen Fläceninhalt erlangt. Wie mache ich das? Meine Ideen: Ich habe zunächst einmal A=(1/2)*g*h zur Hauptbedingung erklärt und suche nun Nebenbedingungen. Irgendwie muss ich ja g und h bestimmen, aber ich weiß nicht wie. Die Punke eventuell in die Funtkion einsetzen? Wäre meine einzige Idee. |
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| 14.09.2010, 18:14 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » |
P3 soll höchstwahrscheinlich auf dem Parabel liegen, oder? |
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| 14.09.2010, 18:21 | nucknuck | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, P3 soll auch auf der Parabel liegen. |
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| 14.09.2010, 19:07 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Weil Johnsen im Moment nicht antwortet, springe ich mal ein: d = AB, diese Distanz (Abstand) wirst du wohl berechnen können, diese ist konstant. Und nun zur Höhe: Sie ist der Normal-Abstand des Parabelpunktes P3(x; y) von der Geraden g = AB. Die Gerade ist daher auf die HNF (Hesse'sche Normalform) zu bringen und dort das x zu belassen und statt y die Funktionsgleichung der Parabel einzusetzen. Damit enthält die Dreiecksfläche nur noch die Variable x, nach welcher die Ableitung durchzuführen ist. Hinweis: Da g/2 bei der Fläche konstant bleibt, bleibt nur übrig, die Höhe h zu maximieren. mY+ |
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| 14.09.2010, 19:55 | nucknuck | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie rechne ich den Abstand aus? Das habe ich mich zuvor auch schon gefragt. |
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| 14.09.2010, 20:46 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stand schon da: Mit der HNF. - Geradengleichung ermitteln (in Normal- d.h. Koordinatenform) - Geradengleichung auf 0 bringen - Geradengleichung durch den Betrag des Normalvektors dividieren (--> HNF) - Koordinaten des Punktes einsetzen, dessen Abstand zu bestimmen ist - Das Ergebnis IST der Betrag des Abstandes - Der Abstand ist gegebenenfalls noch zu orientieren: Vorzeichen - oder +, je nachdem, ob der Nullpunkt und der Punkt auf derselben Seite der Geraden liegen oder nicht Das Vorzeichen ist dann wichtig, wenn mittels des Vorzeichens der 2. Ableitung auf das Extremum überprüft wird. Oder man führt die Prüfung mit einer alternativen Methode aus. |
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| 16.09.2010, 18:15 | nucknuck | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich verstehe nicht ganz, was mit durch den Betrag des Normalvektors dividieren gemeint ist. Was ist der Normalvektor? |
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| 16.09.2010, 18:40 | nucknuck | Auf diesen Beitrag antworten » |
Und noch eine Frage zur Höhe, ist damit die Gerade gemeint, die ich von P3 zur Geraden AB gezeichnet habe? Oder die Seite des Dreiecks? Wenn meine gezeichnete Linie gemeint ist: Wie bringe ich die Gerade zur Normalform? Ich habe doch gar keine Informationen über die Gerade. Ich weiß nur, dass sie das Dreieck in 2 Hälften teilt und zum Punkt P3 führt. |
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| 17.09.2010, 00:53 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es geht nicht um die Gerade, auf der die Höhe liegt, sondern um die Gerade, von der der Abstand des Punktes P3 zu bestimmen ist! Diese Gerade geht durch die Punkte P1, P2 und ist demnach zu erstellen. Zum Normalvektor: Eine Gerade g, deren Gleichung beispielsweise 4x - 3y = 22 lautet, hat den Normalvektor n = (4; -3). Dessen Betrag ist 5, somit lautet die HNF dieser Geraden Soll nun der Abstand d(P;g) eines Punktes P(10;1) von dieser Geraden g bestimmt werden, so ist Da der orientierte Abstand positiv ist, liegen P und O auf verschiedenen Seiten der Geraden, wovon du dich leicht überzeugen kannst. So. Setze dies nun auf deine Aufgabe um. mY+ |
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