Cauchy-Kriterium: Nachweis von Divergenz

14.09.2010, 22:42

ZooBooJoo

Cauchy-Kriterium: Nachweis von Divergenz

Hallo.

Ich habe hier eine Aufgabe und komme nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} a_n = n^2 - n \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass ( $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ) divergiert unter Benutzung des Kauchy-Kriteriums. Hinweis: beachten Sie $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n \end{eqnarray*}$

Meine Lösung bis jetzt:
Cauchy:
$\begin{eqnarray*} m > n > n_0 \end{eqnarray*}$

Festlegungen:
$\begin{eqnarray*} m: n_0 + 2 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} n: n_0 + 1 \end{eqnarray*}$

"Grundgleichung":
$\begin{eqnarray*} |a_m - a_n| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Einsetzen:
$\begin{eqnarray*} |(n_0+2)^2 - (n_0+2) -[(n_0 + 1)^2 - (n_0 + 1)]| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Auflösen:
$\begin{eqnarray*} |n_o^2 + 3n_0 + 2 - n_0^2 - 2n_0 - 1 + n_0 + 1| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Kürzen und Betragsstriche Dank positiver Folge entfernen:
$\begin{eqnarray*} 2n_0 + 2 \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Folgern:
Da $\begin{eqnarray*} 2n_0 + 2 \end{eqnarray*}$ nicht kleiner $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist, konvergiert die folge nicht; sie divergiert. (Schon bei $\begin{eqnarray*} n_0 = 1 \rightarrow 4 \end{eqnarray*}$ )

Frage:
Ist mein Rechenweg korrekt?

MfG
Hoshyman

16.09.2010, 03:30

ZooBooJoo

Auf diesen Beitrag antworten »

pushypushy

16.09.2010, 05:06

Rmn

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Cauchy-Kriterium: Nachweis von Divergenz

Zitat:

Original von Hoshyman
Folgern:
Da $\begin{eqnarray*} 2n_0 + 2 \end{eqnarray*}$ nicht kleiner $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist, konvergiert die folge nicht; sie divergiert. (Schon bei $\begin{eqnarray*} n_0 = 1 \rightarrow 4 \end{eqnarray*}$ )

Für welches Epsilon denn? Für n0 = 1 und Epsilon 1000000 ist es durchaus erfüllt.
Such dir ein vernunftiges Epsilon aus, um zu zeigen, dass man keine n und m finden
kann für die die Forderung erfüllt wäre.

16.09.2010, 12:30

ZooBooJoo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte immer $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ sei eine möglichst kleine Zahl, jedoch $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ .

Dann passt der Satz doch?
Folgern:
Da $\begin{eqnarray*} 2n_0 + 2 \end{eqnarray*}$ nicht kleiner $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist, konvergiert die folge nicht; sie divergiert. (Schon bei $\begin{eqnarray*} n_0 = 1 \rightarrow 4 \end{eqnarray*}$ )

16.09.2010, 12:30

ZooBooJoo

Auf diesen Beitrag antworten »

ups

16.09.2010, 14:13

Rmn

Auf diesen Beitrag antworten »

Epsilon ist nicht die möglichst kleine Zahl, es ist eine beliebige positive Zahl. Damit das Kriterium erfüllt ist, muss die Ungleichung für alle positive Zahlen gelten, ob klein oder groß. D.h. wenn du zeigen willst, dass das Kriterium für diese Folge nicht erfüllt ist, dann sollst du ein Epsilon finden und vorweisen, wo die Ungleichung nicht mehr hinhaut. Die Vorarbeit hast du schon gemacht. Jetzt sag: "Angenommen Epsion=... dann kann man keine Zahlen n und m finden die größer als n0 sind und die Ungleichung erfüllen."

17.09.2010, 03:57

ZooBooJoo

Auf diesen Beitrag antworten »

Meiner Meinung nach ist es unmöglich ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ zu finden sodass:

$\begin{eqnarray*} 2n_0 + 2 \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m > n > n_0 \end{eqnarray*}$ , da

$\begin{eqnarray*} m: n_0 + 2 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} n: n_0 + 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Jetzt sag: "Angenommen Epsion=... dann kann man keine Zahlen n und m finden die größer als n0 sind und die Ungleichung erfüllen."

n und m sind IMMER (d.h. unabhängig von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} > n_0 \end{eqnarray*}$

Hab noch bissl nachgedacht:
Für kleine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ geht das ganze ja. Aber für große eben nicht.

17.09.2010, 04:31

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du weißt, dass es für kleine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ nicht geht, dann nenne eines dieser $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ beim Namen und zeige, dass der Betrag stets größer ist.

Rmn hat es schon gesagt: Wäre es eine Cauchy-Folge müsste man für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ benennen können.

Du suchst dir jetzt ein spezielles $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und zeigst, dass man kein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ benennen kann.

17.09.2010, 19:51

ZooBooJoo

Auf diesen Beitrag antworten »

Da $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ geht es ab einem $\begin{eqnarray*} \epsilon < 2 \end{eqnarray*}$ nichtmehr.

Daher ist das Cauchy-Kriterium nicht erfüllt. -> Divergenz herrscht =)

Richtig?

19.09.2010, 17:46

ZooBooJoo

Auf diesen Beitrag antworten »

lul push

Neue Frage »

Antworten »

Cauchy-Kriterium: Nachweis von Divergenz

Verwandte Themen