Funktionsfindung/Rekonstruktion von Funktionen

14.09.2010, 22:55

Saphir

Funktionsfindung/Rekonstruktion von Funktionen

Hallo,

ich hab mal wieder ein Problem mit meinen Mathehausaufgaben.
Und zwar hab ich gegebene Eigenschaften einer Funktion und muss mit dennen die Funktionsgleichung aufstellen.
Folgendes gegeben:
y-Achensymmetrisch
Ganzrationale Funktion vierten Grades geht durch Punkt P(0|2) und hat ein Extremum bei x = 2 welches die x-Achse berührt. Soweit so gut.

Mein Ansatz wäre folgender bzw. mein Rechenweg soweit:

$\begin{eqnarray*} f(x)= ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$
da es y-Achsensymmetrisch ist fallen alle ungeraden Exponenten weg.
b= 0; d=0 =>
$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+cx^2+e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=4ax^3+2cx \end{eqnarray*}$

Der Punkt P ist ja nichts anderes als f(0)=2 und die Extremstelle
f(2)=0, da sie ja die x-Achse berührt.

Zusammenfassend:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+cx^2+e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=4ax^3+2cx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(2)=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich f gleichgesetz und für x=0 eingesetz
$\begin{eqnarray*} ax^4+cx^2+e=2 | x=0 \end{eqnarray*}$
das selbe nochmal für f'
$\begin{eqnarray*} 4ax^3+2cx=0 x|=2 \end{eqnarray*}$
ergebnis wäre $\begin{eqnarray*} e=2 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} 32a+4c=0 \end{eqnarray*}$

Wie mache ich nun weiter?

14.09.2010, 23:19

mYthos

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Du hast auf noch eine Eigenschaft des Extrempunktes (2; 0) vergessen: Er ist auch Kurvenpunkt. Deshalb kannst du dessen Koordinaten auch noch direkt in die Kurvengleichung einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 0 = 16a + 4c + e \end{eqnarray*}$

mY+

14.09.2010, 23:19

sulo

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RE: Funktionsfindung/Rekonstruktion von Funktionen
Du kannst noch angeben f(2) = 0

smile

14.09.2010, 23:21

mYthos

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@sulo

Zur gleichen Zeit der gleiche Gedanke!
Jetzt wird er/sie sich's besonders gut merken!

mY+

14.09.2010, 23:27

sulo

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Ja, das hat man manchmal, erst tut sich so lange nix und dann antworten zwei gleichzeitig... Big Laugh

14.09.2010, 23:30

Saphir

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Das habe ich doch bereits getan.
Ich hab $\begin{eqnarray*} 4ax^3+2cx=0 x|=2 \end{eqnarray*}$ . Das ist doch dieser Punkt oder irre ich mich?

14.09.2010, 23:35

sulo

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Nein, das ist die Steigung im Extremwert, also die Bedingung f '(2) = 0

smile

14.09.2010, 23:49

Saphir

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Ok, hab alles klar. Hab vergessen das die erste Ableitung die Steigung ist.

Ich hab aber nun das Problem das ich nicht weiß was ich mit dem Punkt f(2)=0 machen soll.
Ich kann ja keine 3 Gleichungen gleichsetzen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+cx^2+e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(2)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0)=2 \end{eqnarray*}$

14.09.2010, 23:56

mYthos

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Stand doch schon da:

Zitat:

Original von mYthos
...
$\begin{eqnarray*} 0 = 16a + 4c + e \end{eqnarray*}$
...

e = 2 wissen wir auch schon, also ist das die zweite Gleichung in a, b

mY+

15.09.2010, 00:32

Saphir

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Ich glaub ich habs verstanden.
Erst die Steigung von der Extremstelle einsetzen und dann noch die Extremstelle selbst richtig?

Als Ergebnis hab ich nun raus $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{8}x^4-x^2+2 \end{eqnarray*}$

15.09.2010, 00:38

mYthos

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So ist's brav Big Laugh

Paaaasst.

mY+

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