Rekursive Folge ist konvergent, grenzwert |
07.11.2006, 20:46 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Rekursive Folge ist konvergent, grenzwert ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe : Die Folge Xn werde rekursiv definiert duch für Untersuchen sie die Folge auf konvergenz und bestimmen sie ihren Grenzwert. Leider verstehe ich einfach das Prinzip wie man an solche Aufgaben angeht nicht daher haben mir die schon besprochenen Beispiele hier im Board nicht geholfen Also ich würde ja einfach so anfangen : So also weiter komm ich beim vereinfach nicht... Verstehe nun nicht wie ich daraus etwas ablesen kann... Kann mir das jmd für diese Aufgabe also das oben geschriebene (falls richtig) erklären ? mfg Silver |
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07.11.2006, 21:08 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man sollte immer dazu sagen, was man gerade beabsichtigt... In diesem Fall willst du wohl gerade die Monotonie zeigen, oder? Das macht man hier günstiger so: Die Rekursion kann man mit der Funktion schreiben. Nun ist leicht erkennbar streng monoton wachsend, also folgt aus auch , was wegen und auch geschrieben werden kann. Zusammen mit hat man den Induktionsanfang , womit die Monotonie bewiesen ist. |
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07.11.2006, 21:17 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
re
Darf ich denn für den Induktionsanfang verwenden ? n soll doch >= 1 sein. Das oben gezeigt ist der Induktionsschritt oder ? |
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07.11.2006, 21:27 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: re Sorry, ich hab mich beim Index verzählt. Also ich meine . Und ja, ich habe erst den Induktionsschritt gemacht, und dann den Anfang - vielleicht etwas ungewohnt diese Reihenfolge. |
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07.11.2006, 21:39 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
re noch 2 vielleicht dumme Fragen : 1) Wie bist du auf gekommen ? 2) Wie beweise ich den verlangten Grenzwert ? |
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07.11.2006, 22:27 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: re waren die Fragen echt so doof das keiner antwortet ? Bin immer noch nicht drauf gekommen man muss doch bei x2 eine 2 in die Funktion einsetzen oder nicht ? dann kommt bei mir was anderes raus. |
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07.11.2006, 22:30 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: re Nur einsetzen: Das ist so einfach, deswegen hat keiner geantwortet. |
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07.11.2006, 23:18 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
rg ach lol kein kommentar ^^ |
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08.11.2006, 16:48 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zum Grenzwert: Erst musst du noch zeigen, dass die Folge konvergiert. Wenn sie nach oben beschränkt und monoton steigend ist, dann stimmt das. Also musst du die Beschränktheit nach oben noch zeigen! Danach kannst du den Grenzwert bestimmen, und zwar so: Sei der Grenzwert. Dann gilt natürlich auch und daraus folgt: . Da kannst du nun die Stetigkeit der Wurzel benutzen und einen Grenzwertsatz anwenden! Damit erhältst du eine Gleichung für . Gruß MSS |
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17.11.2006, 19:55 | MCF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo ihr Wink habe schon gesucht, aber leider nichts passendes gefunden, also es geht darum zu beweisen, dass als hinweis ist gegeben, dass wir für p > 0 eine rekursive folge x_n (n € IN*) folgendermaßen definiert haben: x1 = wurzel p x_n+1 = wurzel (p+x_n) nun sollen wir x2 - x5 angeben... allerdings verwirrt mich das mit dem p im zusammenhang mit dem wurzel 2 ziemlich... verwirrt also wenn ich doch beweisen soll, dass der wurzel 2 ausdruck stimmt, wieso der umweg über die rekursive p-folge?? ich hoffe, ihr könnt mir helfen... lieben dank smile --> das war mein beitrag in einem andren thread, nochmal kopiert, dass jeder nachvollziehen kann, worauf ich mich beziehe. im gegensatz zu silver ist ,mein x1 = wurzel p und x_n+1 = wurzel (p+x_n) also ist mein p = 2 quasi? wenn ich nun x2 - x5 hinschreiben soll, genügt es dann einfach rekurriv die zahlen einzusetzen und dann zu sehen, dass es gegen 2 konvergiert? den monotoniebeweis verstehe ich nicht so ganz --> wieso führtst du das g(t) ein? |
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17.11.2006, 20:02 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, einsetzen genügt, um die Werte auszurechnen. Aber die Werte zeigen noch lange nicht die Konvergenz gegen ! Was verstehst du denn an dem Monotoniebeweis nicht? Das verhilft einem zur Ungleichung unter der Voraussetzung, dass gilt. Gruß MSS |
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21.11.2006, 18:53 | MCF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ahaaa vielen dank mss das ist ja wirklich logisch wenn man sich damit beschäftigt... jetzt habe ich noch eine frage dazu (die nächste teilaufgabe) ich soll eine positive zahl X finden, sodass gilt: wurzel (p+X) < M ... das sind doch dann die zahlen > gleich 1 oder?? mit dieser zahl soll ich zeigen, das x_n < M für alle n€N ist. |
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21.11.2006, 19:41 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was soll denn überhaupt sein? Gruß MSS |
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21.11.2006, 19:49 | MCF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oh sorry, das soll die gesuchte zahl X sein... |
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21.11.2006, 19:51 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du die Teilaufgabe nochmal ordentlich aufschreiben? So wird das irgendwie nichts ... Gruß MSS |
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21.11.2006, 21:38 | MCF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
entschuldige.. *g* also die gegeben dinge findest du oben in meinem quote. ich soll eine positive zahl X finden, sodass wurzel (p+X) < X ist und soll u.a. zeigen, dass x_n < X (die zahl die ich suchen soll) ist (für alle n€N). |
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21.11.2006, 21:43 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut. Und was ist daran jetzt so schwierig? Gruß MSS |
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21.11.2006, 22:07 | MCF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich soll also für X einfach irgendeine Zahl einsetzen (von mir aus 12) und dann zeigen, dass wurzel (p+12) < 12 ist?? das kanns ja nicht sein...... oder? ich bleibe jetzt einfach mal dabei und soll danach zeigen, dass x_n < 12 ist, was ja logisch wäre, weil x_n ja gegen 2 konvergiert... ich bin auf dem holzweg oder? |
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21.11.2006, 22:11 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, nicht irgendeine. Aber du kannst ja die Ungleichung nach auflösen. Sei . Dann gilt: . Kannst du das nach auflösen? Gruß MSS |
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21.11.2006, 22:18 | MCF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
X^2 - p > X würde ich sagen? |
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21.11.2006, 22:21 | MCF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habs schon gemerkt, dass das unsinn ist aber ich steh auch ehrlich gesagt grade mit der Umformung aufm Schlauch^^ wie wärs mit X^2 - X = X (X-1) so als anfang? |
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21.11.2006, 22:42 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Quadratische Ergänzung wäre etwas besser. Gruß MSS |
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21.11.2006, 22:56 | MCF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie meinen? |
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21.11.2006, 23:16 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
. Gruß MSS |
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21.11.2006, 23:27 | MCF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ahhh einfach binomische formel rückwärts prima... wär ich nicht drauf gekommen... aber wie kriege ich dann das X aus der klammer? |
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22.11.2006, 00:00 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es bleibt die Ungleichung , also zu lösen. Da du nur eine Zahl finden sollst und die möglichst groß sein soll, kannst du annehmen. Dann ist die obige Ungleichung äquivalent zu . Gruß MSS |
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22.11.2006, 10:25 | MCF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also bekommt man gar keine feste zahl raus? weil bspw. die 12 wäre ja > 1/2 allerdings habe ich da noch eine frage.... wenn ich zeigen soll, dass x_n < X ist... mein x_n allerdings zwei ist und mein X nur die bedingung hat, größer als 1/2 zu sein.. dann wäre X [1/2 ; 2] ja total unsinnig? |
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22.11.2006, 15:43 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, soll nicht nur größer als sein! Es soll gelten: . Gruß MSS |
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22.11.2006, 17:54 | MCF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
klaro, also wenn mein p =2 ist, muss x > 2 sein.. damit hab ichs gezeigt. viiiielen vielen dank !!!!!!!!!!!!! |
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22.11.2006, 18:35 | MCF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jetzt noch rein interessehalber: kann ich bei einer rekursiv gegebenen folge (ist sie ja) auch beweisen, dass sie einen grenzwert (hier 2) hat, ohne alle glieder einzeln auszurechnen? oder geht das bei rek. def. folgen nciht? |
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22.11.2006, 19:56 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich kannst du das! Das hast du doch bei dieser Folge auch gemacht! Gruß MSS |
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22.11.2006, 21:37 | MCF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja... würde ich jetzt nicht sagen.. ich habe halt nacheinander die nächsthöheren glieder eingesetzt. das hat für mich nix mit einem beweis bzw. betrachtung zu tun |
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23.11.2006, 13:18 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich dachte, wir hätten das besprochen? Monotonie und Beschränktheit kannst du, wie gesagt, schnell mit Induktion zeigen. Dazu gab es ja dieses ... Gruß MSS |
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03.12.2006, 13:08 | ThomasMa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versteh nicht ganz wie man die beschränktheit zeigt. Welchen grenzwertsatz muss ich da anwenden |
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03.12.2006, 14:15 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gar keinen. Du zeigst einfach durch Induktion, dass gilt. Gruß MSS |
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