Extremwertbestimmung bei einem Bruch

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15.09.2010, 14:30	Hänsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertbestimmung bei einem Bruch Mahlzeit... Ich hab hier mal eine komplette Kurvendiskussion: die Funktion lautet : $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{(x-3)²}{x-1} \end{eqnarray}$ bestimmen Sie: 1) Definitionbereich/Wertebereich 2) Nullstellen 3) Pole und Grenzwerte an den Polen 4) Koordinaten Extremwerte 5) Koordinaten Wendepunkte/Sattelpunkte 6) Gleichung der Asymptote im Unendlichen! 7) Koordinaten der Schnittpunkte der Asymptote mit der Funktion Ich fang dann mal an 1) Definitionbereich: $\begin{eqnarray} D= \left\{x\in \mathbb R ,x>1 \right\} \end{eqnarray}$ Wertebereich : $\begin{eqnarray} W=\mathbb R \end{eqnarray}$ 2) Nullstellen: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{(x-3)²}{x-1} \end{eqnarray}$ Zähler 0 setzen : 0=(x-3)² x=3 3) Pole und Grenzwerte an den Polen Nenner 0 setzen: 0=x-1 x=1 war´s das mit den Polstellen oder muss ich da noch mehr rechnen? 4) Extremwerte: f '(x)=0 f ''(x) <0 Maximum f ''(x) >0 Minimum dann hab ich gerechnet: ich hab erst die Ableitungen gemacht; u(x) = (x-3)² v(x) = x-1 u'(x) = 2(x-3) v'(x) = 1 $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))²} \end{eqnarray}$ eingesetzt: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{2(x-3)(x-1)-(x-3)²1}{(x-1)²} \end{eqnarray}$ ich hab das dann zusammen gefasst, da ich ja nix kürzen kann....oder $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{2x²-8x+6-x²+6x-9}{(x-1)²} = \frac{x²-2x-3}{(x-1)²} \end{eqnarray}$ weiter bin ich noch nicht ^^ ist das soweit richtig??
15.09.2010, 14:32	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Was gleich zu Beginn auffällt: Der Definitionsbereich ist nicht richtig, denn warum darf ich keine Zahl für x einsetzen, die kleiner als 1 ist? Ich darf nur nicht direkt x=1 einsetzen. Damit folgt für deinen Definitionsbereich?
15.09.2010, 14:39	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
2) richtig 3) Hier kannst du den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert an die Polstelle berechnen und dann bekommst du heraus, ob es gegen + oder- unendlich geht an dieser Polstelle 4) Rechung ist richtig, schreibe jedoch f´(x). Jetzt die erste Ableitung 0 setzen.
15.09.2010, 14:57	Hänsen	Auf diesen Beitrag antworten »
J hast Recht mit dem Definitionsbereich, der ist dann : $\begin{eqnarray} D= \left\{ x\in \mathbb R , x=1\right\} \end{eqnarray}$ ist der Wertebereich denn richtig?? Oder muss das so: $\begin{eqnarray} W= \mathbb R \end{eqnarray}$ \1 oder wie schreibt man das? 3) Dann lasse ich die Funktion gegen plus und minus unendlich laufen?? $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } f(x) = \lim_{x \to \infty } \left[\frac{(x-3)²}{x-1} \right] = +\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -\infty } f(x) = \lim_{x \to -\infty } \left[\frac{(x-3)²}{x-1} \right] = -\infty \end{eqnarray}$ 4) Mach ich dann sofort
15.09.2010, 15:08	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
1) nein nicht so ganz, du musst es so schreiben: $\begin{eqnarray} D= \{ x\in \mathbb R\backslash \{1\}\} \end{eqnarray}$ 3) du musst den Limes gegen deine Polstelle laufen lassen und zwar einmal von links und einmal von rechts und nicht gegen + oder - unendlich, damit rechnst du die Asymptoten aus!
15.09.2010, 15:21	Hänsen	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist das mit dem limes was ich gerade gemacht habe eig Punkt 6) oder ^^ gut dann so? oder muss ich unter Limes das schreiben: x>1 und beim nächsten x<1?? x>1 $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1 } f(x) = \lim_{x \to 1 } \left[\frac{(x-3)²}{x-1} \right] = +\infty \end{eqnarray}$ x<1: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1 } f(x) = \lim_{x \to 1 } \left[\frac{(x-3)²}{x-1} \right] = -\infty \end{eqnarray}$
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15.09.2010, 15:35	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das wäre Punkt 6, und ja deine Ergebnisse an der Polstelle sind auch richtig!
15.09.2010, 15:53	Hänsen	Auf diesen Beitrag antworten »
gut dann zurück zum extremwert ^^ $\begin{eqnarray} f'(x)= 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0= \frac{x²-2x-3}{(x-1)²} \end{eqnarray}$ /(x-1)² $\begin{eqnarray} 0= x²-2x-3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1+3} \end{eqnarray}$ x1 = 3 >0 also Maximum x2 = -1 <0 also Minimum die Punkte wären dann: $\begin{eqnarray} f(x1)=\frac{(3-3)²}{3-1 } =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{E1} (3,0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x1)=\frac{((-1)-3)²}{(-1)-1 } =-8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{E2} (-1,-8) \end{eqnarray*}$ oder??
15.09.2010, 15:56	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie weißt du nur mit der ersten Ableitung, was von den beiden Werten ein Maximum und was ein Minimum ist?
15.09.2010, 16:01	Hänsen	Auf diesen Beitrag antworten »
achja. . mist das war ja die 2. ableitung werde mich gleich wieder melden und die Punkte??? bleiben die so?? edit 2 ne hat sich schon erledigt ^^ ich rechne erstmal ^^
15.09.2010, 16:21	Hänsen	Auf diesen Beitrag antworten »
so... also die 2. Ableitung, da hab ich das raus: $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{8}{(x-1)³} \end{eqnarray}$ X1 und X2 einsetzen: $\begin{eqnarray} f''(3)=\frac{8}{(3-1)³} = 1 \end{eqnarray}$ > 0 also Minimum $\begin{eqnarray} f''(-1)=\frac{8}{(-1-1)³} = -1 \end{eqnarray}$ < 0 also Maximum dann wären die Punkte: $\begin{eqnarray} x_{E1} (3,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{E2} (-1,-1) \end{eqnarray}$ jetzt richtig
15.09.2010, 16:25	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja deine Zuordnug was ein Min. und was ein Max. ist (hier sei nochmal gesagt, dass es sich um lokale Extrema handelt!) richtig. Allerdings musst du die Werte 3 und -1 in die Ausgangsfunktion einsetzen, um die Extrempunkte herauszufinden! Also waren deine Lösungen aus dem Post zuvor schon richtig!
15.09.2010, 17:01	Hänsen	Auf diesen Beitrag antworten »
gut also sind die Extrempunkte: XE1 (3,0) und XE2 (-1,-8) 6) haben wir ja schon zu 7) da hab ich jetzt das... um die Asymptotengleichung rauszubekommen benutze ich doch einfach die Polynomdivision: (3-x)² : (x-1) --> (x²-6x+9) : (x-1) = x+7 + (16/x-1) also ist x+7 die Gleichung oder?? und um den Schnittpunkt mit der Funktion zu bekommen, setze ich die Asymptotengleichnung mit der Funktion gleich... $\begin{eqnarray} x+7 = \frac{(x-3)²}{x-1} \end{eqnarray}$ da bekomme ich dann 12x = 16 ---> x= 4/3 das setze ich in der Ausgangsfunktion ein und erhalte meinen Schnittpunkt: Xs (4/3 , 25/3) richtig ??
15.09.2010, 17:05	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Polynomdivision ist falsch!
15.09.2010, 17:17	Hänsen	Auf diesen Beitrag antworten »
man man... je später der Abend.... hab den Fehler, der Term müsste heissen x-5+(4/x-1) aber wenn ich das dann mit der Funktion gleichsetze, dann bekomm ich nachher raus 0=4 und das geht ja nicht oder muss ich den Term mit dem Rest der bei der Polynomdiv überbleibt gleichsetzen??
15.09.2010, 17:18	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Überleg dir mal was eigentlich eine Asyptote ist und wann sie die Funktion dann schneidet!
15.09.2010, 17:25	Hänsen	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... Die Asymptote nähert sich ja eigentlich nur der Funktion an, also schneidet sie die Funktion niemals oder??? Aber wieso steht dann in der Aufgabenstellung: Bestimmen sie die Schnittpunkte... ahh da steht auch "falls vorhanden".... also ist bei 7): Keine Schnittpunkte...
15.09.2010, 17:27	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Asymptote nähert sich der Funktion beliebig an und schneidet sie im Unendlichen.
15.09.2010, 17:31	Hänsen	Auf diesen Beitrag antworten »
dann gibt es ja doch schnittpunkte.... und die kann man nicht errechnen??? oder beläßt man es bei deiner Ausage, das sie sich im Unendlich schneiden???
15.09.2010, 17:43	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde sagen, dass es keine berechenbare Punkte gibt.
15.09.2010, 17:45	Hänsen	Auf diesen Beitrag antworten »
okay..... sorry das ich dir vllt Kopfschmerzen bereitet habe und ganz herzlichen Dank für deine Hilfe

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