Ist dieser Beweis richtig? (Kontraposition)

15.09.2010, 17:19

Dummkopf77

Ist dieser Beweis richtig? (Kontraposition)

Meine Frage:
Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Behauptung: $\begin{eqnarray*} \forall a,b \end{eqnarray*}$ gilt: wenn $\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{a+b} \end{eqnarray*}$ unkürzbar ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ unkürzbar.

Meine Ideen:
Beweis durch Kontraposition: Wenn a/b kürzbar ist, dann auch (a-b)/(a+b).

$\begin{eqnarray*} a=2n, b=2x \end{eqnarray*}$ Nun. $\begin{eqnarray*} \frac{2n}{2x} \end{eqnarray*}$ ist also kürzbar. Übertragen wird a und b auf $\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{a+b} \end{eqnarray*}$ erhalten wir $\begin{eqnarray*} \frac{2n-2x}{2n+2x}=\frac{(2n-2x)²}{2(2n²)+2(2x²)}= \frac{2(2n²-2²nx+2x²)²}{2(2n²+2x²)} \end{eqnarray*}$
Dieser Bruch ist kürzbar und somit ist die Kontraposition und damit die Behauptung bewiesen...?
viele Grüße

15.09.2010, 17:21

kiste

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Was bedeutet kürzbar bei reellen Zahlen?

Und wo kommt die 2 her?

15.09.2010, 17:23

tmo

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Du kannst doch nicht einfach annehmen, dass beide Zahlen den Primfaktor 2 enthalten, nur weil der Bruch kürzbar ist verwirrt

15.09.2010, 17:26

Dummkopf77

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sorry, es war natürlich der Bereich der natürlichen Zahlen.
Die 2 vor n soll ausdrücken, dass die Zahl kürzbar ist, für n oder x könnte man die Hälfte von a bzw b und der Bruch ließe sich eben weiter kürzen (damit soll nur ausgedrückt werden, dass der Bruch tatsächlich gekürzt werden kann)

15.09.2010, 17:30

Dummkopf77

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Zitat:

Original von tmo
Du kannst doch nicht einfach annehmen, dass beide Zahlen den Primfaktor 2 enthalten, nur weil der Bruch kürzbar ist verwirrt

aber damit kann man doch jede natürliche Zahl darstellen?... z.b 2*1,5= 3, etc?

04.11.2016, 20:41

Guestasdf

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Hey, ist es so genauso möglich, die Rückrichtung zu zeigen? Also dass aus a/b nicht kürzbar folgt, dass a+b/a-b auch nicht kürzbar ist?

05.11.2016, 10:06

allahahbarpingok

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Zitat:

Original von Guestasdf
Hey, ist es so genauso möglich, die Rückrichtung zu zeigen? Also dass aus a/b nicht kürzbar folgt, dass a+b/a-b auch nicht kürzbar ist?

Nein.

Der Beweis sieht doch schon ganz gut aus. Jetzt nehme mal an, dass jede Zahl sich komplett in Primzahlen zerlegen lässt und die Zahlen a, b eine gemeinsame Primzahl haben, die sich rauskürzen lässt

edit: wooow, der post ist ja von 2010...

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