Formel für n-fache Ableitung eines Bruchs

15.09.2010, 18:23

MrT

Formel für n-fache Ableitung eines Bruchs

Meine Frage:
Guten Tag,

Ich bin auf der Suche nach einer Formel für die Berechnung der n-ten Ableitung eines Bruchs $f(x)/g(x)$ (oBdA f,g unendlich oft differenzierbare Funktionen auf R).

Es bedankt sich im voraus für Hinweise,
Tim

Meine Ideen:
Es ist mir klar, dass man n-mal die Quotientenregel anwenden muss, doch ist das Ergebnis sehr unübersichtlich und ich frage mich, ob jemand sich schon einmal die Mühe gemacht hat, in diesem Wust für n>3 ein sinnvolles, beschreibares Pattern zu entdecken. Falls f und g kommutieren bekomme ich für n=3 als Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{f''g^2 - 2f'g'g + 2(g')^2 gf - g''fg } {g^3}<br /> \end{eqnarray*}$

15.09.2010, 19:54

Muff Potter

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Es gibt eine Verallgemeinerung der Produktregel, von Leibniz:

$\begin{eqnarray*} D^{n}f(t)h(t)= \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} D^kf(t)D^{n-k}h(t) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} D^n \end{eqnarray*}$ für die n-te Ableitung steht. Tjoa, das war's dann schon (Motto: $\begin{eqnarray*} h(t)=(g(t))^{-1} \end{eqnarray*}$ ). smile

16.09.2010, 13:56

MrT

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Hmm, Ist ein guter Ansatz. Danke vielmals.

16.09.2010, 18:50

MrT

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Ich würde die Frage gerne noch etwas verschärfen:
Gibt es eine Formel allein in Abeitungen von f und g?

16.09.2010, 22:28

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von MrT
Ich würde die Frage gerne noch etwas verschärfen:
Gibt es eine Formel allein in Abeitungen von f und g?

Ja, du nutzt einfach $\begin{eqnarray*} h(t)=(g(t))^{-1} \end{eqnarray*}$

16.09.2010, 22:59

Muff Potter

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Zitat:

Original von MrT
Ich würde die Frage gerne noch etwas verschärfen:
Gibt es eine Formel allein in Abeitungen von f und g?

Du könntest halt noch in der Formel oben für $\begin{eqnarray*} D^{n-k}h(t)=D^{n-k} \frac{1}{g(t)} \end{eqnarray*}$ die eigenartige Formel von Faà die Bruno (im Link das Theorem 2) anwenden. Aber ich bezweifle ein wenig, daß es dann hübscher aussieht. verwirrt

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