Substitution

15.09.2010, 20:39

Cheftheoretiker

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Substitution

Hallo,

ich versuche gerade eigenständig die Substitution erlernen.
Folgende Aufgabe habe ich,

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5}(x-1)^3=16 \end{eqnarray*}$

Da ich es zum ersten mal mache, wollte ich einmal nachfragen, ob jemand wohl bereit wäre mir die Methodik zu erklären und etwas näher zu bringen das ich auch den Sinn dahinter verstehe. Ich habe zu dieser Aufgabe auch einen vollständigen Lösungsweg bei seite liegen allerdings kann ich ihn nicht nachvollziehen.

Meine Ideen sind zur Substitution das man damit Gleichungen höherer Ordnung lösen kann allerdings wie, keine ahnung.

Danke schonmal smile

smile

15.09.2010, 20:48

Iorek

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Du könntest ja mal $\begin{eqnarray*} z=x-1 \end{eqnarray*}$ substituieren, kannst du die Gleichung dann nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auflösen?

Allgemein ist die Substitution wenn sie anwendbar ist ein sehr starkes Mittel; allerdings gibt es auch durchaus Gleichungen, wo eine Substitution nichts bringt, das sollte man im Hinterkopf behalten.

15.09.2010, 20:50

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Iorek
Du könntest ja mal $\begin{eqnarray*} z=x-1 \end{eqnarray*}$ substituieren, kannst du die Gleichung dann nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auflösen?

Allgemein ist die Substitution wenn sie anwendbar ist ein sehr starkes Mittel; allerdings gibt es auch durchaus Gleichungen, wo eine Substitution nichts bringt, das sollte man im Hinterkopf behalten.

Ähm,

was mache ich denn nun mit den anderen Zahlen? verwirrt

verwirrt

15.09.2010, 20:56

Iorek

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Die bleiben einfach stehen, die sind davon ja nicht betroffen smile

smile

Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} x^2-1=0 \end{eqnarray*}$ , wir substituieren $\begin{eqnarray*} z=x^2 \end{eqnarray*}$ , dann erhalten wir $\begin{eqnarray*} z-1=0 \Leftrightarrow z=1 \end{eqnarray*}$ . Resubstitution (also die Substitution rückgängig machen) liefert dann $\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm 1 \end{eqnarray*}$ . Ob die Substitution bei diesem Beispiel sinnvoll ist, ist natürlich fraglich, aber man kann es so machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ähnlich wird das auch mit deiner Gleichung funktionieren.

15.09.2010, 21:01

Cheftheoretiker

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Ah ok,

ich leg mal los smile

smile

...

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5}(x-1)^3=16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5}z^3=16 |:\{frac{2}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^3=\sqrt[3]{5*8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=2\sqrt[3]{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1=2\sqrt[3]{5} |+1 \end{eqnarray*}$

Ok, die Rechnung habe ich nun verstanden. Aber den Sinn verstehe ich noch nicht so ganz? verwirrt

verwirrt

15.09.2010, 21:09

Iorek

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Bei deinem Beispiel bringt das nicht viel, interessanter wäre z.B. so etwas:

$\begin{eqnarray*} x^4-3x^2+2=0 \end{eqnarray*}$ , hier kann man das mit einer Substitution auf eine Gleichung 2ten Grades zurückführen, wo man dann die pq-Formel verwenden kann, die Rechnung also um ein Vielfaches einfacher wird.

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15.09.2010, 21:19

Cheftheoretiker

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Ok, ich versuche mich mal...

$\begin{eqnarray*} x^4-3x^2+2=0 \end{eqnarray*}$

Substitution...

$\begin{eqnarray*} x^2=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2-3z+2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{3}{2}-\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$
Wann wendet man die Substitution denn immer an und welchen Vorteil bietet es?

15.09.2010, 21:26

Iorek

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Bei dir fehlt jetzt natürlich noch die zweite Lösung für x und die Resubstitution.

Warum man die verwendet:

Zitat:

Original von hangman
Meine Ideen sind zur Substitution das man damit Gleichungen höherer Ordnung einfacher lösen kann

Du hast da eine Gleichung vierten Grades, dafür gibt es Lösungsformeln, aber die will keiner anwenden, weil sie schrecklich kompliziert sind. Da allerdings nur gerade Potenzen von x vorkommen, kann man das so wie du substituieren und erhält eine Gleichung zweiten Grades, dafür gibt es einfache Lösungsformeln.

Wann man sie nutzt: immer wenn es einem die Rechnung erleichtert.

15.09.2010, 21:34

Cheftheoretiker

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Die zweite Lösung wäre,

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{3}{2}+\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=2 \end{eqnarray*}$

Allerdings erfüllt die 2 nicht die Lösung.
Was meinst du denn nun mit resubstitution? verwirrt

verwirrt

15.09.2010, 21:42

Iorek

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Du hast substituiert, dann aber die Lösungen für x angegeben, das ist erstmal falsch wie mir gerade auffällt. Deine Variable ist ja nach der Substitution z.

Du bekommst dann zwei Gleichungen für z, danach musst aber wieder resubstituieren, also die Substitution rückgängig machen; schließlich willst du Lösungen für x haben, nicht für z.

15.09.2010, 21:51

Cheftheoretiker

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Jou, stimmt, im eifer des Gefechtes habe ich die Variablen verdreht Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} z_1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2=2 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} x^2=1 |\sqrt{} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

So, ich bin durch die Bezeichnung von x etwas durcheinander gekommen. Jetzt sollte es aber stimmen?

15.09.2010, 21:52

Iorek

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$\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$ hat aber zwei Lösungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du erhältst am Ende bei dieser Gleichung insgesamt 4 Lösungen.

15.09.2010, 21:55

Cheftheoretiker

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ok

smile

$\begin{eqnarray*} x^2=1 |\sqrt{} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=-1 |\sqrt{} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=2 |\sqrt{} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=-2 |\sqrt{} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4=-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

So?` Hammer

Hammer

15.09.2010, 22:04

Iorek

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Deine Ergebnisse stimmen, aber:

$\begin{eqnarray*} x^2\neq -2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2\neq -1 \end{eqnarray*}$ !!!

Du hast $\begin{eqnarray*} x^2=2 \end{eqnarray*}$ , das liefert die zwei Lösungen $\begin{eqnarray*} x_{3,4}=\pm \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x^2=-2 \end{eqnarray*}$ hätte in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ keine Lösung.

15.09.2010, 22:09

Cheftheoretiker

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Ok, ich sollte es jetzt eigentlich im groben verstanden haben smile

smile

Ich werde morgen noch ein paar Aufgaben dazu rechnen und versuchen mein Wissen zu festigen, sollte ich vielleicht noch etwas dazu wissen?
Kennst du eventuell auch ein Script oder eine Seite wo es noch zusätzliche Übungen gibt - ich muss gestehen, in meinem Buch sind es gerade einmal 8 Aufgaben böse

böse

Und danke für die nette Hilfe smile

smile

15.09.2010, 22:19

Iorek

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Vielmehr zu wissen gibt es da eigentlich nicht, eine Seite fällt mir auf Anhieb auch nicht ein, Google liefert mir zu dem Stichwort soweit ich das überflogen habe nur was zur Integration durch Substitution.

15.09.2010, 23:22

Cheftheoretiker

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Eine Frage habe ich noch,

kann ich bei sollchen Aufgaben nur substituieren, wenn der exponent gerade ist?

x^4+x^3+x^7=5

? verwirrt

verwirrt

15.09.2010, 23:26

Iorek

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Die Exponenten müssen immer ein "günstiges" Verhältnis zueinander haben, das ist hier nicht gegeben.

z.B. wäre $\begin{eqnarray*} x^6+x^3+1=0 \end{eqnarray*}$ auch mit Substitution lösbar: $\begin{eqnarray*} (x^3)^2+x^3+1=0 \end{eqnarray*}$ unter Anwendung der Potenzgesetze, dann funktioniert die Substitution $\begin{eqnarray*} z=x^3 \end{eqnarray*}$ .

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