Identität zweier Integrale [ehem.: Trigonometrische Identität]

15.09.2010, 20:47

monchi

Identität zweier Integrale [ehem.: Trigonometrische Identität]

Hi,

ich hab ein Integral auf zwei verschiedene Arten gelöst und bekomme leider auch zwei unterschiedliche (wenn auch ähnliche) Ergebnisse raus.

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{1}{cosh(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} -2arctan(e^{-x}) =? 2arctan(e^{x}) \end{eqnarray*}$

Läßt sich das eine in das andere überführen?

15.09.2010, 20:56

Johnsen

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Also richtig ist auf jeden Fall

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{1}{cosh(x)} \, dx = 2 \cdot arctan(e^x) \end{eqnarray*}$

Da ich auch keine Umrechnung deines anderen Ergebnisses erkenne und durch einsetzen von ein paar Werten nicht auf die Indentität komme, würde ich sagen, dass du dich da verrechnet hast, bei der Methode die dieses Ergebnis mit dem - ergibt.

15.09.2010, 21:38

corvus

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RE: Trigonometrische Identität

Zitat:

Original von monchi

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{1}{cosh(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ergebnisse: (.. + c )

$\begin{eqnarray*} -2arctan(e^{-x}) = 2arctan(e^{x}) \end{eqnarray*}$

Läßt sich das eine in das andere überführen?

mache die Probe .. leite also deine beiden Resultate ab
und schau, ob du die Ergebnisse beide in die Form

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{cosh(x)} = \frac{2e^{x} }{e^{2x}+ 1 } \end{eqnarray*}$

bringen kannst ..
Tipp zur Ableitung der linken Seite: erweitere das Ergebnis mit e^(2x) ..
und ...? smile

nebenbei:
dein gewählter Titel "Trigonometrische Identität" ist neben dem Schuh.. Wink

16.09.2010, 00:29

monchi

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Wer hätte das gedacht, komme in beiden Fällen auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{cosh(x)} \end{eqnarray*}$

So weit so gut, nur kenn ich mich mit der Materie zu wenig aus, um die mathematischen Hintergründe dafür nachvollziehen zu können Big Laugh

Kann mir jemand erklären wieso das so ist?

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