Mengen |
| 07.11.2006, 22:45 | Marion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Mengen habe hier eine Matheaufgabe mit der ich garnicht zurecht komme! Bitte dringend um Hilfe! Danke im Voraus. Also: 1) Zeigen Sie: Die Vereinigung endlich vieler nach oben beschränkter Mengen ist wieder nach oben beschränkt. Der Durchschnitt einer nach oben beschränkten Menge mit einer beliebigen Menge ist ebenfalls nach oben beschränkt. (Anmerkung:Entsprechendes gilt für Mengen, die nach unten beschränkt sind.) 2) Sind alle a € A von Null verschieden, so sei 1/A = {1/a : a € A}. Zeigen Sie: Ist inf A > 0, so ist sup 1/A = 1/infA (Hinweis: Sei b = infA; betrachten Sie 1/b - 1/a für a € A.) Hatte die Aufgabe eben in der Schulmathematik! hehe |
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| 07.11.2006, 23:53 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu 1): Für die Vereinigung überlege dir einfach, wodurch diese nach oben beschränkt ist. Für den Durchschnitt ists noch einfacher. Was verstehst du denn daran nicht? mfG 20 |
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| 08.11.2006, 14:19 | Marion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke erstmal! Ja, bei der Vereinigung geht die Menge bis zu einem bestimmten Punkt. Und wenn man mehrere Mengen hat dort auch wieder, oder ??? Ich kann mir das nicht vorstellen, wie ich das beweisen soll!!! |
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| 08.11.2006, 14:29 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stell es dir erstmal mit zwei Mengen vor. Z.B. nimmst du zweit Intervalle auf dem Zahlenstrahl. Beide sind nach oben beschränkt. Durch welchen Wert ist nun die Vereinigung nach oben beschränkt? |
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| 08.11.2006, 14:58 | Marion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja der Wert ist dann eine beliebige Variable, z.B. A={1,2,...,n} und B={1,2,...,m}. Dann ist A durch n und B durch m beschränkt! ... richtig ??? |
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| 08.11.2006, 15:30 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich sag mal vorsichtig: Ja. Wenn das der Fall ist, durch was ist dann beschränkt? |
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| 08.11.2006, 15:34 | Marion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weiß nicht! :-( |
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| 08.11.2006, 18:06 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
weißt du denn, was die vereinigung ist? mfG 20 |
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| 08.11.2006, 18:32 | Marion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei der Vereinigung zweier Mengen handelt es sich um alle Elemente, die beide Mengen vereinigt! |
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| 08.11.2006, 18:46 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich bin mir nicht sicher, ob du das richtige meinst... "alle Elemente, die beide Mengen vereinigen" Ich würde eher sagen: "alle Elemente, die in einer der beiden oder in beiden Mengen liegen." Naja, wenn die Elemente der einen nach oben durch a beschränkt sind, und die Elemente der anderen nach oben durch b beschränkt sind, wodurch sind denn dann alle Elemente auf jeden Fall beschränkt? mfG 20 |
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| 08.11.2006, 18:49 | Marion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Durch a*b ??? |
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| 08.11.2006, 18:51 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein, nicht unbedingt, wenn eine der zahlen negativ ist, und die andere positiv, dann klappts z.B. nicht mehr. Nimm einfach die größere von beiden! mfG 20 |
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| 08.11.2006, 18:57 | Marion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bekomm das nicht hin! :-( |
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| 08.11.2006, 18:59 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hier steht schon die Lösung! jetzt überleg dochmal, warum ist die größere von beiden oberen Schranken wohl eine Schranke der Vereinigung? mfG 20 |
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| 08.11.2006, 19:10 | Marion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du mir das bitte aufschreiben, wie man das beweist ? ... ich kann das irgendwie nicht! |
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| 08.11.2006, 19:19 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok: für zwei Mengen A,B, die nach oben durch a und b beschränkt sind gilt: ist nach oben durch beschränkt. Beweis: Für alle gilt: also auch Für alle gilt: also auch => Beh. |
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| 08.11.2006, 19:36 | Marion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dankeschön! ... und der Durchschnitt ??? |
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| 08.11.2006, 19:41 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie wärs wenn du selber darüber nachdenkst, die Antwort ist ganz einfach... mfG 20 |
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| 08.11.2006, 19:59 | Marion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann man beim Durchschnitt genau gleich wie bei der Vereinigung vorgehen, nur das statt max{a,b} = min{a,b} dort steht ??? |
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| 08.11.2006, 21:23 | wusel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Aber wies aussehen muss, weiß ich auch nicht. Hänge gerade an dersselben Aufgabe ... |
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| 08.11.2006, 21:34 | wusel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
würde ja sagen: allerdings hätte man es sich ber der ersten dann ja auch so einfach machen können? |
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| 08.11.2006, 23:44 | Dr. Logik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Moin wusel und marion! Sitze auch grad an der Aufgabe. Was haltet ihr denn von: ist die obere Schranke von Muss halt noch bewiesen werden. Ich hab's mittels eines Widerspruchbeweises gemacht. Evtl. gehts auch einfacher, aber so funzt es wenigstens (falls ich nicht irgendwo nen Denkfehler gemacht habe). Viele Grüße, Dr. Logik |
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| 09.11.2006, 17:03 | Marion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, kannst du man zeigen wie du es gemacht hast ??? LG |
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| 09.11.2006, 19:12 | Dr. Logik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Marion! Kann dir mal das Vorgehen beschreiben. Den Beweis musst du schon irgendwie selbst hinbekommen. Also: zunächst musst du dir erst einmal im Klaren sein, welche Voraussetzung herrschen muss, damit überhaupt eine Schnittmenge zwischen diesen beiden Mengen A und B existiert (Tipp: Überleg dir mal, was passiert, wenn das Maximum der einen Menge kleiner als das Minimum der anderen Menge ist!). Wenn du dir darüber im Klaren bist, musst du herleiten, dass das Kleinere der beiden Maxima Element der Schnittmenge ist (wende hierfür die Voraussetzung an, die du eben hergeleitet hast). Ich bin mir nicht ganz sicher, ob das nötig ist, aber ich habe dann an dieser Stelle noch einen Widerspruchsbeweis geführt, um zu zeigen, dass dieses kleinere Maxima dann auch wirklich die obere Schranke der Schnittmenge ist, indem ich zunächst von der Annahme ausgegangen bin, es gibt eine andere Zahl, die obere Schranke ist und das dann widerlegt habe. Probiers mal aus. Wird schon klappen!!! Viele Grüße, Dr. Logik |
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| 09.11.2006, 19:24 | Marion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehe nicht, was du da machst ?! |
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| 09.11.2006, 20:23 | Dr. Logik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst mir schon sagen, was genau du nicht verstehst! Aber ich probiers noch einmal etwas exakter: Überlege dir doch einmal, was passiert, wenn a (was ja die obere Schranke von A ist) < min B ist bzw. wenn b (obere Schranke von B) < min A ist. Stell dir hierzu zwei Intervalle auf einem Zahlenstrahl vor, wobei z.B. die obere Schranke der Menge A kleiner ist als die untere der Menge B! Dann wirst du sehen, dass es, wenn das der Fall ist, gar keine Schnittmenge gibt! (ist doch logisch oder?) Also kannst du doch voraussetzen, dass a > min B bzw. b > min A ist (je nach dem, welche der beiden Schranken kleiner ist), damit du überhaupt eine Schnittmenge erhälst. Naja und jetzt zeigst du nur noch, dass folglich die kleinere von beiden Schranken {a,b} Element von beiden Mengen und somit auch von der Schnittmenge ist. (Dass a z.B. Element von A ist, ist ja klar) Hoffe, dass dir das weiterhilft. Viel mehr hab ich dazu auch nicht geschrieben. |
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| 09.11.2006, 20:34 | Marion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar danke erstmal! |
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