Verteilungsfunktion - Abstand zweier zahlen

16.09.2010, 16:22	SBHD	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktion - Abstand zweier zahlen Meine Frage: Zwei Punkte werden zufällig in (0,1) gewählt. Sei X der Abstand der beiden Punkte. Man berechne die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen X Meine Ideen: Nach vielen Stunden auf der Suche nach einer guten Lösung habe ich zumindest einen schönen kombinatorischen Ansatz für t kleiner 1/3 gefunden - dabei soll t die Variable in der Dichte sein. Man berechnet erst die Verteilungsfunktion, für die Dichte muss man ja nur ableiten. Für t kleiner 0 ist die Wahrscheinlichkeit 0, für t Größe 1 1. Sei A das Ereignis, dass der Abstand kleiner als t ist, B1 das Ereignis, dass beide Zahlen nicht im Intervall (t,1-t) seien und B2 das Gegenereignis dazu. Wir bleiben bei t kleiner 1/3. Bezeichne P(X\|Y) die bedingte Wahrscheinlichkeit, so gilt bekanntermaßen P(A)=P(A\|B1)P(B1)+P(A\|B2)P(B2)=1/2 * 4t^2 + 2t *.(1-4t^2)
16.09.2010, 17:34	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktion - Abstand zweier zahlen Zwei Punkte zufälig auf (0,1) zu wählen heiißt, dass du zwei gleichverteite unabhängige ZVen $\begin{eqnarray} Y_1, Y_2 \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} U_{(0,1)} \end{eqnarray}$ hast. Nun sollst du die Dichte der ZVe $\begin{eqnarray} X=\|Y_1 - Y_2\| \end{eqnarray}$ bestimmen. mach es doch einfach direkt über Fallunterscheidung (Indikatorvariablen) und die zugehörigen Faltungsprodukte.
16.09.2010, 17:51	SBHD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab leider noch keine Ahnung, wie ich da Faltung anwenden soll - das ist bei mir nur in mathematischer physik aufgetreten! Was mich wundert ist, dass dies eines der ersten Beispiele ist, wo gerade erst Rechentegeln gezeigt wurden - das verständliche pendant zur Aufgabe ist im skript die dichte vom maximum zweier zahlen aus dem Intervall zu bestimmen, was eine leichte Lösung hatte - weswegen ich an eine gleich leichte Lösung mit wenig hintergrundwissen in diesem Fall hoffe. Danke trotzdem!
16.09.2010, 18:08	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf einfacherem Level, s.h. ohne Faltung, sozusagen sogar schultauglich, kann man das ganze auch mit geometrischen Wahrscheinlichkeiten lösen. Da bewegt man sich in der $\begin{eqnarray} (Y_1,Y_2) \end{eqnarray}$ -Ebene, und das Zufallsexperiment entspricht der zufälligen Wahl eines Punktes im Einheitsquadrat $\begin{eqnarray} [0,1]^2 \end{eqnarray}$ . Dem Ereignis $\begin{eqnarray} [\|Y_1-Y_2\|\leq t] \end{eqnarray}$ kann man dann eine entsprechende Teilfläche von $\begin{eqnarray} [0,1]^2 \end{eqnarray}$ zuordnen.

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