waagerechte und senkrechte Tangente

16.09.2010, 17:50

blazer

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waagerechte und senkrechte Tangente

Hallo,

ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe:

Berechnen Sie die Ableitung dy/dx sowie alle Stellen mit waagerechter und senkrechter Tangente der Kurve der in Parameterform gegebenen Funktion

$\begin{eqnarray*} x=\frac{t^2-4}{t^2+4}; y= \frac{t(t^2-4)}{t^2+4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - \infty < t < \infty \end{eqnarray*}$

Mittels Quotientenregel habe ich folgende Ableitung bestimmt:

$\begin{eqnarray*} y= \frac{t^4+16t^2-16}{16t} \end{eqnarray*}$

Darf man das überhaupt so machen, da hier ja dy/dx verlangt war?

Die Bedingung für die waagerechte Tangente ist ja y´= 0; x´ ungleich 0

y´wird 0 für x1= 0,96 und x2= -0,96 (gerundet)

x´ ist für x1 und x2 ungleich Null

Wo muss ich diese beiden Werte denn einsetzen um den Punkt zu erhalten?

19.09.2010, 15:25

blazer

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Weis niemand eine Antwort?

20.09.2010, 00:01

blazer

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Falls es doch noch jemand weis, ich kucke morgen mal nochmal vorbei. trotzdem danke an alle die es sich angeschaut haben.

20.09.2010, 00:49

mYthos

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Bilde die Ableitungen nach dem Parameter

$\begin{eqnarray*} \dot x = \frac{\dd x}{\dd t} \ \text{und} \ \dot y = \frac{\dd y}{\dd t} \end{eqnarray*}$

und berechne daraus $\begin{eqnarray*} \frac {\dd y}{\dd x} \end{eqnarray*}$

Für die waagrechten Tangenten wird der Zähler, für die senkrechten der Nenner Null gesetzt.
________________

Hinweis: Du erhältst Werte für t, welche du dann noch in (x; y) umrechnen musst.

mY+

20.09.2010, 01:04

corvus

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RE: waagerechte und senkrechte Tangente

Zitat:

Original von blazer

Berechnen Sie die Ableitung dy/dx
sowie alle Stellen mit waagerechter und senkrechter Tangente der Kurve
der in Parameterform gegebenen Funktion

$\begin{eqnarray*} x=\frac{t^2-4}{t^2+4}; y= \frac{t(t^2-4)}{t^2+4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \infty < t < \infty \end{eqnarray*}$

Mittels Quotientenregel habe ich folgende Ableitung bestimmt:

$\begin{eqnarray*} y= \frac{t^4+16t^2-16}{16t} \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

geschockt

du wirst die Ableitung von x nach t berechnen .. also dx/dt =...

(nebenbei: der t-Wert, für den dann dx/dt=0 wird
liefert deine senkrechte Tangente x=-1 ... warum?)

du berechnest die Ableitung von y nach t, also dy/dt =...

(nebenbei: die t-Werte, für die dann dy/dt=0
liefern die Kurvenpunkte mit waagrechter Tangente)

ach ja: du kannst dir jetzt auch noch die zweite "senkrechte Tangente",
die eine Asymptote sein wird, überlegen..

Die Ableitung dy/dx bekommst du als Quotient deiner beiden vorherigen Ergebnisse:
dy/dx=[dy/dt] / [dx/dt]

wenn du aus dem System den Parameter t eliminierst, bekommst du die Kurvengleichung y=f(x)

die könnte zB so aussehen:

$\begin{eqnarray*} y= \pm 2x\cdot \sqrt{\frac{1+x}{1-x} } \end{eqnarray*}$

probier mal herauszufinden, ob das stimmt verwirrt

verwirrt

sorry.. sehe gerade, dass ich etwas zu langsam war... na ja..

20.09.2010, 11:52

blazer

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Dann hätten wir:

x´= $\begin{eqnarray*} \frac{2t(t^2+4)-2t(t^2-4)}{(t^2+4)^2} = \frac{16t}{(t^2+4)^2} \end{eqnarray*}$

y´= $\begin{eqnarray*} \frac{(3t^2-4)(t^2+4)-2t(t^3-4t)}{(t^2+4)^2} = \frac{t^4+16t^2-16}{(t^2+4)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dy/dx= \frac{t^4+16t^2-16}{(t^2+4)^2} * \frac{(t^2+4)^2}{16t }= \frac{t^4+16t^2-16}{16t} \end{eqnarray*}$

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20.09.2010, 18:38

corvus

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.

Freude

.. alles richtig .. aber warum machst du nun nicht weiter ?
.

20.09.2010, 19:56

blazer

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Wollte die Richtigkeit der Ableitung gerne bestätigt wissen, da du sie zunächst ja für falsch gehalten hast.

Der Zähler wird 0 für t1= 0,96 und t2= -0,96 (gerundet)

Der Nenner wird (logischer Weise) 0 für t=0

20.09.2010, 20:40

corvus

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Zitat:

Original von blazer
Wollte die Richtigkeit der Ableitung gerne bestätigt wissen,
da du sie zunächst ja für falsch gehalten hast. unglücklich

unglücklich

na ja,..
oben hast du ja y= ... aufgeschrieben (was doch wohl irgendwie falsch ist -oder?)
woher sollte ich da wissen, dass du damit die Ableitung dy/dx meinst? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von blazer
Der Zähler wird 0 für t1= 0,96 und t2= -0,96 (gerundet)

Der Nenner wird (logischer Weise) 0 für t=0

ok
und weiter?
(was machst du damit im nächsten Schritt?)
.

20.09.2010, 21:58

blazer

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Ja war etwas verwirrend mit meiner Ableitung im ersten Beitrag, hatte wohl den Strich (`) vergessen hinter dem y. Sorry.

Jetzt muss ich wohl für die waagerechte Tangente t1 und t2 einsetzen und für die senkrechte t. Aber wo?

20.09.2010, 22:34

corvus

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Zitat:

Original von blazer

Jetzt muss ich wohl für die waagerechte Tangente t1 und t2 einsetzen
und für die senkrechte t.
Aber wo?

genauer: nicht für die Tangenten, sondern zur Berechnung der Koordinaten
der Berührpunkte der Tangenten wirst du natürlich dort einsetzen, wo dir
doch die Gleichungen x(t)=.. und y(t)=.. für die Kurvenpunkte P(x/y) gegeben waren .. Wink

Wink

also? -> .......

22.09.2010, 22:12

blazer

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Also setze ich die Werte t1, t2 und t3 enfach in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein?

23.09.2010, 20:26

blazer

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ansonsten fällt mir nämlich nichts ein verwirrt

verwirrt

23.09.2010, 20:35

corvus

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Zitat:

Original von blazer
Also setze ich die Werte t1, t2 und t3 enfach in .. beide Ausgangsgleichungen ein?
...was denn sonst - warum machst du das denn nicht endlich?

ansonsten fällt mir nämlich nichts ein Gott

Gott

23.09.2010, 20:52

blazer

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Sorry Corvus, hoffe ich koste dir nicht zu viele Nerven, stand etws auf dem Schlauch... Wink

Wink

P1: (0,96/-0,625)
P2: (-0,96/-1,60)
P3 unglücklich

unglücklich

0/-1)

23.09.2010, 21:07

corvus

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Zitat:

Original von blazer
.. stand etws auf dem Schlauch... Wink

Wink

P1: (0,96/-0,625)
P2: (-0,96/-1,60)
P3 unglücklich

unglücklich

0/-1)

anstatt auf Schlächen herumzustehen könntest du hinsitzen und
deine drei Resultate selbst nochmal überprüfen:

1) eigentlich sollten P1 und P2 doch symmetrisch zur x-Achse liegen - oder? .. also..

2) bei P3 hast du vielleicht die Koordinaten irgendwie versehentlich lässig vertauscht..?

hm?

23.09.2010, 21:14

blazer

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Also hab alles nochmal überprüft. Komme auf exakt die gleichen Ergebnisse

23.09.2010, 21:17

blazer

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Nein doch nicht...Taschenrechner war flasch eigestellt...

P1 (0,96/-0,625)
P2 (-0,96/-0,625)
P3 (0/-1)

23.09.2010, 21:33

corvus

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Zitat:

Original von blazer
Nein doch nicht...Taschenrechner war flasch eigestellt... smile

smile

P1 (0,96/-0,625) unglücklich

unglücklich

P2 (-0,96/-0,625)
P3 (0/-1) unglücklich

unglücklich

dein Taschenrechner ei-ert ja immer noch: P3 ist allemal noch falsch Wink

Wink

und die Vorzeichen der Koordinaten der beiden anderen Punkte sind auch daneben böse

böse

.

23.09.2010, 21:40

blazer

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$\begin{eqnarray*} (0,96^{2}-4)/(0,96^{2}= -0,625 sagt mein Taschenrechner. \end{eqnarray*}$
und wenn ich 0 einsetze steht da doch -4/4 und das ist doch -1.

23.09.2010, 21:55

corvus

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Zitat:

Original von blazer
$\begin{eqnarray*} (0,96^{2}-4)/(0,96^{2}= -0,625 \end{eqnarray*}$ sagt mein Taschenrechner.
.

ja, der x-Wert für die beiden ersten Punkte ist beidesmal -0,625
und jetzt schau dir doch die vorher oben notierten x-Koordinaten an geschockt

geschockt

Zitat:

Original von blazer
und wenn ich 0 einsetze steht da doch -4/4 und das ist doch -1

.... ja und zwar für den x-Wert von P3 .. nicht für dessen y-Wert Teufel

Teufel

.

23.09.2010, 22:13

blazer

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ICh glaub ich war blind...

P1 (-0,625/-0,633)
P2 (-0,625/-0,600)
P3 (-1/0)

23.09.2010, 22:27

corvus

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Zitat:

Original von blazer
ICh glaub ich war blind...

P1 (-0,625/-0,633)
P2 (-0,625/-0,600)
P3 (-1/0)

dann mach doch jetzt die Augen endlich mal ganz auf:
die richtigen y-Werte von P1 und P2 haben verschiedene Vorzeichen, jedoch gleichen Betrag

23.09.2010, 22:34

blazer

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P1 (-0,625/-0,593)
P2 (-0,625/0,600)
P3(-1/0) sagt der taschenrechner Hammer

Hammer

23.09.2010, 22:38

blazer

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Letzte kleine Ergänzug:

Der y Wert von P1= -0,600 und von P2=0,600

Hoffe jetzt stimmt es LOL Hammer

LOL Hammer

danke corvus für deinen tollen Einsatz

23.09.2010, 22:45

corvus

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Zitat:

Original von blazer
P1 (-0,625/-0,593)
P2 (-0,625/0,600)

P3(-1/0) sagt der taschenrechner
richtig, aber das war ja auch nicht mehr in Frage gestellt Augenzwinkern

Augenzwinkern

und:
immer noch nicht kapiert ? P1 und P2 liegen spiegelbildlich zur x-Achse , dh ihre
y-Werte unterscheiden sich nur im Vorzeichen.. Wink

Wink

.

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