E - N Technik Beweis? Konvergenz

07.11.2006, 23:45

Susi1987

E - N Technik Beweis? Konvergenz

Hallo, geht um eine Grenzwertgeschichte bei der ich Hilfe bräuchte

1.
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n³+5n}{3n³-6} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

lim an = a -> |an - a| = E
Ich komm mit dem E ned klar - ich muss das doch durch irgendwas ersetzen? E >0 - Dann ist in der Definition von Konvergenz auch noch n und N drinne mit n >=N usw.. Da komm ich ned mit. Wäre für nen Lösungsansatz dankbar

2. 2 Folgen aus R (an), (bn) - Es soll gezeigt/widerlegt werden:

an ---> 0, (bn) beschränkt ==> an * bn = 0

^ eigentlich logisch.. an -> 0 ist ne 0folge und hat damit (0,0,0,...) - wenn ich die mit einer beschränkten folge multiplizier muss 0 rauskommen, da jedes Glied der Folge bn muss 0 sein multipliziert mit 0 - aber wie zeig ich das? oder stimmt es gar nicht?

3. Konvergent oder nicht? und gegebenfalls grenzwert berechnen..

$\begin{eqnarray*} an =\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn eine folge konvergent ist, dann ist sie beschränkt, hat also einen grenzwert. ist die folge kovergent?

muss ich das auch wieder mit lim an = a machen? oder wie?

Danke schonmal für jede nützliche Hilfe.

08.11.2006, 00:20

H4wk

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1.Musst du das Beweisen?
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n³+5n}{3n³-6} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
Wenn du das mit dem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Kriterium machen willst, was ich aus deinem etwas unstrukturierten Text schließe, dann musst du beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0 \exists n\in\mathbb N \colon |an-a|<\varepsilon \forall n\geq N \end{eqnarray*}$

Also, dass $\begin{eqnarray*} |\frac{n³+5n}{3n³-6}-\frac{1}{3}|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$

2. Weil an eine Nullfolge ist heißt das nicht, dass sie nur aus nullen besteht, es heißt nur, dass sich die Folgenglieder null annähern $\begin{eqnarray*} |an|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$
und beschränkt bedeutet: $\begin{eqnarray*} \exists c \in \end{eqnarray*}$ N $\begin{eqnarray*} \colon bn<c \forall n \in \end{eqnarray*}$ N
Und damit erhältst du bei Multiplikation von an und bn wieder eine Nullfolge.

Zu 3. kann ich dir gerade leider nichts sagen.
Ich hoffe es hilft trotzdem.

08.11.2006, 14:20

irre.flexiv

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Bei 3. zeigst du einfach das $\begin{eqnarray*} b_n = n \end{eqnarray*}$ eine divergente Minorante ist.

08.11.2006, 14:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von H4wk
und beschränkt bedeutet: $\begin{eqnarray*} \exists c \in \end{eqnarray*}$ N $\begin{eqnarray*} \colon bn<c \forall n \in \end{eqnarray*}$ N

Genau genommen:
$\begin{eqnarray*} \exists c \in N \colon |bn| <c \forall n \in N \end{eqnarray*}$

08.11.2006, 20:30

H4wk

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Oh, stimmt, es muss natürlich $\begin{eqnarray*} |bn| \end{eqnarray*}$ heißen.

08.11.2006, 20:48

WURSCHTL

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jo zeig einfach das bn eine schranke hat und dann schau mal in deinen setzten nach und da steht bestimmt eine nullfolge multipliziert mit ner zahlr ergibt wieder ne nullfolge

08.11.2006, 23:06

Susi1987

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Danke, hab heute in der Übung auch das meiste begriffen!

Einwas noch: Wie vereinfache ich

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n}n^{2}}{2^{n}} \end{eqnarray*}$

Dieser Term soll den Grenzwert 0 haben, das soll nachgewiesen werden, also

den Betrag davon - 0 < € sein..

Dazu muss ich den obrigen Term umstellen.

@Wurschtl: Ich solls beweisen, nicht einfach nen Satz nehmen..

08.11.2006, 23:15

Mathespezialschüler

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Wurschtl hat ja auch nicht gesagt, dass du einfach nur nen Satz nehmen sollst. Was er vorgeschlagen hat, sieht dann so aus:
Wegen $\begin{eqnarray*} |b_n|<c\ \forall\ n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_nb_n-0|=|a_nb_n|=|a_n|\cdot |b_n|<|a_n|c=|ca_n| \end{eqnarray*}$ .

Und nun kannst du weitermachen ...
Zur neuen Aufgabe: Es gilt

$\begin{eqnarray*} |a_n-0|=\frac{n^2}{2^n} \end{eqnarray*}$ .

Dass das eine Nullfolge ist, kannst du so beweisen wie hier oder hier. Oder du zeigst (z.B. durch Induktion), dass für genügen große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} n^3\leq 2^n \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

edit: @Farfalla
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