Schnittpunkt aller Schargeraden

16.09.2010, 19:45	PassingAfternoon	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt aller Schargeraden Meine Frage: Gegeben ist die Geradenschar Ft(x) = (t - 3)x - 5t + 15 meine Aufgabe ist: Bestimme den Punkt, durch den alle Geraden dieser Schar verlaufen. Allerdings habe ich keine Ahnung wie ich sowas rechne ô.o Meine Ideen: ich habs mal probiert wie bei ner normalen gerade.. (t - 3)x - 5t + 15 = 0 \|-15 (t - 3)x - 5t = -15 tx - 3x - 5t = -15 \|:t tx/t - 3x/t - 5t/t = -15/t und habe dann die t's weggekürzt -> x - 3x - 5 = -15/t so aber was jetzt? und ist das überhaupt richtig?
16.09.2010, 19:57	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (t-3)x-5t+15 = (t-3)x-5(t-3) \end{eqnarray}$ Nun mal ausklammern.
16.09.2010, 20:07	PassingAfternoon	Auf diesen Beitrag antworten »
.. ehm ya.. aber wie komms du dadrauf und wieso schreibst das einfach zweimal auf? xD mir sagte bis vor zehn minuten der begriff schargerade nichts .. :\|
16.09.2010, 20:32	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Also dann vorab erstmal was Grundsätzliches. Eine Geradenschar ist eine lineare Funktion mit Parameter, der unabhängig von x ist. In diesem Fall liegt eine besondere Geradenschar, nämlich ein Geradenbüschel vor. Ein Geradenbüschel ist eine Geradenschar, bei der jede Funktion durch den selben Punkt geht. Sie haben die Gleichung $\begin{eqnarray} f_m(x) = m(x-a)+b \end{eqnarray}$ Alles diese Geraden gehen durch den Punkt $\begin{eqnarray} P(a\|b) \end{eqnarray}$ . Wenn du also genau diesen Punkt finden möchtest, musst du deine Funktion zunächst auf denau diese Form bringen. Das macht man dann eben mit einer Umformung. $\begin{eqnarray} (t-3)x-5t+15 = (t-3)x-5(t-3) = (t-3)(x-5) \end{eqnarray}$ Was ist hier also m, a und b?
16.09.2010, 20:43	PassingAfternoon	Auf diesen Beitrag antworten »
okaaaaay.. ich glaub in meinem kopf ist einfach ab acht uhr kein platz mehr für mathe ich lass mir das morgn mal von meim lehrer erklären x) tzd vielen dank!!
16.09.2010, 21:37	PassingAfternoon	Auf diesen Beitrag antworten »
hmhm.. ich hab mir das jetz nochmal mit ner freundin angeguckt also ist doch eigentlich nach deiner aussage m= (t-3) a= 5 b= (t-3) oder? aber wenn wir da jetzt die klammern auflösen bin ich beim selben punkt wo ich vorher auch war ó.ò und das sieht falsch aus muss ich denn jetzt eigentlich m und b in klammern setzten oder nur dieses (x-a)? also (t-3)x-5(t-3) oder t-3(x-5)t-3 ? ^^
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16.09.2010, 22:04	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Also anscheind fehlt dir, neben der Kenntnis über Funktionsscharen, grundlegende Algebra. Das soll nicht böse gemeint sein, ich will dich damit nur darauf hinweisen, dass du das Vorhergehende auch schon können musst, wenn du dich an weiterführenden Dingen zu schaffen machen willst. Du kannst ja z. B. auch nicht dein Zimmer streichen, wenn du gar keine Farbe hast. m = t-3 a = 5 ist richtig, aber wie kommst du auf b = t-3 Wenn du die Klammern auflöst bist du am selben Punkt wie vorher, das ist richtig. Aber der Sinn, dass man das in eine bestimmte Form bringt, ist nicht die, dass man das ganze danach wieder rückgängig macht! Oder um wieder ein Beispiel zu bringen: Du hängst ja nicht ein Poster an deiner Wand auf, um es danach wieder entfernen zu können. Was hast du an der Umformung denn nicht verstanden? Dann kann ich das gerne auch erklären. Denn du lässt einfach mal Klammern weg, wo eig. welche hingehören, wie du darauf kommst, dass man das machen darf, leuchtet mir nicht so wirklich ein. Nochmal: Ein Geradenbüschel wird durch $\begin{eqnarray} f_m(x) = m(x-a)+b~\quad m \in \mathbb R \setminus\{0\} \end{eqnarray}$ beschrieben. Das sind, je nachdem was man für m einsetzt, alles lineare Funktionen die durch den Punkt $\begin{eqnarray} P(a\|b) \end{eqnarray}$ gehen. Mal ein Beispiel (a = 2, b = 1, m = -1, 0.5 und 3) Hier ist der Punkt P natürlich P(2\|1). Nun zurück zu deiner Aufgabe: Du sollst eben diesen Punkt P ermitteln, durch den alle Geraden gehen. An der allgemeinen Form eines Geradenbüschels (die hab ich oben hingeschrieben), kann man diesen Punkt ja ablesen. Deshalb Formen wir das gegebene Geradenbüschel in diese Form um, das machen wir indem wir $\begin{eqnarray} (t-3)x-5t+15 = x \cdot (t-3)-5 \cdot (t-3) = (t-3)(x-5)+0 \end{eqnarray}$ umformen. Das ist alles das Gleiche, jedoch in verschiedenen Formen. Ich habe auch die Rechenschritte ein bisschen deutlicher gemacht. Nun lese b richtig ab (Und zwar NICHT an der mittleren Form, denn das ist ja nicht die allgemeine Geradenbüschelform, sondern an der letzten, denn diese ist genau in diese Form gebracht!)

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