kurze Frage zu Integralen

16.09.2010, 20:18

frieder

kurze Frage zu Integralen

Hallo.

Eine kurze Frage:

Falls f,g Funktionen sind mit $\begin{eqnarray*} f(t) \le g(t) \end{eqnarray*}$ für alle t. Folgt daraus: $\begin{eqnarray*} \int f ds \le \int g ds \end{eqnarray*}$ (mit denselben Integralgrenzen etc.)?

lg
frieder

16.09.2010, 20:44

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: kurze Frage zu Integralen
nein.

16.09.2010, 20:49

schultz

Auf diesen Beitrag antworten »

aber aus $\begin{eqnarray*} |f(t)|\leq |g(t)| \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |\int_a^b \! f(t) \, dt |\leq |\int_a^b \! g(t) \, dt | \end{eqnarray*}$ oder?

16.09.2010, 21:03

frieder

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, Schade. Dann verstehe ich eine Abschätzung nicht, die im Beweis von Picard-Lindelöf globale Version verwendet wird.

Voraussetzungen:
Sei I=[a,b] kompaktes Intervall, $\begin{eqnarray*} t_0 \in I, y_0 \in \mathbb{R}n, f: I \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ stetig. Es gilt: $\begin{eqnarray*} \exists L > 0 \forall y_1, y_2 \in \mathbb{R}^n: |f(t,y_1) - f(t,y_2)| \le L|y_1-y_2| \end{eqnarray*}$ .

Im Beweis das Ty=Integralgleichung eine Kontraktion ist, wird folgende Abschätzung gemacht:

$\begin{eqnarray*} \int_{t_0}^t |f(s,x(s))-f(s,y(s))|ds \le \int_{t_0}^t L|x(s)-y(s)|ds \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x,y \in C(I;\mathbb{R}^n) \end{eqnarray*}$ .

Eine weitere Abschätzung, die ich nicht verstehe, ist:
$\begin{eqnarray*} \int_{t_0}^t e^{(L+1)s} e^{-(L+1)s} |x(s)-y(s)|ds \le \int_{t_0}^t e^{(L+1)s} d(x,y) ds \end{eqnarray*}$
wobei man dabei noch wissen muss, dass folgende Metrik verwendet wird: $\begin{eqnarray*} d(g,h)= sup_{t \in I} |e^{-(L+1)t}(g(t)-h(t))| \end{eqnarray*}$

Kann mir das jemand erklären?

lg frieder

16.09.2010, 22:04

Mr. Pink

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Weil die Funktionen im Integral >=0 sind (wegen Betrag), gilt das (Integral=Flaeche).

wenn f<g<0, dann ist die flaeche, die f und die x-Achse einschliessen groesser als die von g und der x-Achse...

2. du bildest da das supremum. Wieder ist alles >=0.

16.09.2010, 22:20

Gastmathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: kurze Frage zu Integralen

Zitat:

Original von frieder
Hallo.

Eine kurze Frage:

Falls f,g Funktionen sind mit $\begin{eqnarray*} f(t) \le g(t) \end{eqnarray*}$ für alle t. Folgt daraus: $\begin{eqnarray*} \int f(s) ds \le \int g(s) ds \end{eqnarray*}$ (mit denselben Integralgrenzen etc.)?

lg
frieder

Auch wenn manche etwas anderes behaupten, aber so wie es da oben steht, ist das richtig. (Wenn f, g intbar sind).

EDIT: Natürlich muss die obere Integrationsgrenze größer als die untere sein.

Zitat:

Original von frieder
aber aus $\begin{eqnarray*} |f(t)|\leq |g(t)| \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |\int_a^b \! f(t) \, dt |\leq |\int_a^b \! g(t) \, dt | \end{eqnarray*}$ oder?
frieder

Das wiederrum ist falsch. Es müsste $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! |f(t)| \, dt \leq \int_a^b \!| g(t)| \, dt \end{eqnarray*}$ heißen.

16.09.2010, 22:25

Gastmathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mr. Pink
1. Weil die Funktionen im Integral >=0 sind (wegen Betrag), gilt das (Integral=Flaeche).

wenn f<g<0, dann ist die flaeche, die f und die x-Achse einschliessen groesser als die von g und der x-Achse...

Die Ungleichung gilt auch für f<g<0, seh dir mal die Definition des Integrals an.

Ist zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f\equiv-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\equiv-1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \int_0^1\! f(t) \, dt =-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_0^1\! g(t) \, dt =-1 \end{eqnarray*}$ .

16.09.2010, 22:30

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Falls f,g Funktionen sind mit $\begin{eqnarray*} f(t) \le g(t) \end{eqnarray*}$ für alle t. Folgt daraus: $\begin{eqnarray*} \int f \, ds \le \int g \, ds \end{eqnarray*}$ (mit denselben Integralgrenzen etc.)?

Ich weiss nicht genau, wieso Igrizu ohne Angabe eines Gegenbeispiels einfach "nein." schreibt und du ihm das dann auch noch glauben solltest... (bzw. rate dir, in diesem Falle nachzuhaken und dich damit nicht zufrieden zu geben! Und igrizu rate ich dazu, Gegenbeispiele zu finden oder aber nichts zu schreiben.)

Denn deine Vermutung stimmt natürlich.

Das sieht man z.B. schon an den Riemannsummen (das heisst, falls ihr nicht mit Massen arbeitet... Aber auch da stimmt die Ungleichung für positive Masse):

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n f(\xi_k) (x_k - x_{k-1}) \le \sum_{k=1}^n g(\xi_k) (x_k - x_{k-1}) \end{eqnarray*}$

Für jede Partition $\begin{eqnarray*} \Delta = \{x_0, \ldots, x_n\} \end{eqnarray*}$ des Intervalls. Das bedeut aber insbesondere

$\begin{eqnarray*} \int f(x) \, dx = \lim_{|\Delta| \to 0}\sum f(\xi_k) (x_k - x_{k-1}) \le \lim_{|\Delta| \to 0}\sum g(\xi_k) (x_k - x_{k-1}) = \int g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Edit: Too slow... Dafür aber mit ausführlicher Begründung Augenzwinkern

16.09.2010, 23:15

frieder

Auf diesen Beitrag antworten »

ok. Vielen Dank für die Antworten!

16.09.2010, 23:32

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

Da der Threadersteller keine Angaben über die jeweiligen Funktionen f und g macht, hat Igrizu schon damit recht, erstmal nein zu schreiben.

Die Funktionen könnten ja wer weiß wie geartet sein.

16.09.2010, 23:54

Gastmathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von chrizke
Da der Threadersteller keine Angaben über die jeweiligen Funktionen f und g macht, hat Igrizu schon damit recht, erstmal nein zu schreiben.

Die Funktionen könnten ja wer weiß wie geartet sein.

Nein, das finde ich nicht. Die Funktionen können nämlich durchaus aussehen wie sie wollen, wenn sie integrierbar sind, gilt der Satz (und es gibt sehr wilde Funktionen, die Intbar sind).

Auch wenn er tatsächlich gesehen hat, das die Bedingung integrierbar fehlt und die Integrale daher undefiniert sein könnten, so ist auch in dem Zusammenhang die schlechteste Antwort einfach "Nein" zu schreiben, da der Threadersteller niemals sehen wird, dass er diese für ihn klare Vorraussetzung nicht hingeschrieben hat. Er wird also einfach den eigentlich richtigen Satz als falsch anzunehemen.

Sollte Igrizu nicht wissen, ob der Satz richtig oder falsch ist, so hätte er dazuschreiben sollen, dass das nur eine Vermutung von ihm ist.

16.09.2010, 23:55

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre eine einfache Aussage wie "Solange f, g integrierbar sind, stimmt das." angemessen. Aber "nein." verwirrt nur unnötig und hilft kein Stück.

Entweder man hat Lust zu helfen oder man lässt es bleiben.

Im übrigen darf man manche Dinge einfach implizit annehmen. Genauso wirst du annehmen, dass das Mass nicht komplex ist und dass die Funktionen reellwertig sind, da die Frage sonst keinen Sinn machen würde.

17.09.2010, 09:43

Mr. Pink

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: kurze Frage zu Integralen

Zitat:

Original von Gastmathematiker
Auch wenn manche etwas anderes behaupten, aber so wie es da oben steht, ist das richtig. (Wenn f, g intbar sind).

Sorry wegen dem Fehler. Hammer

Neue Frage »

Antworten »

kurze Frage zu Integralen

Verwandte Themen