Was beschreibt die Gleichung x²-y²=0

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16.09.2010, 21:08	Dummkopf77	Auf diesen Beitrag antworten »
Was beschreibt die Gleichung x²-y²=0 Meine Frage: Was beschreibt die Gleichung $\begin{eqnarray} x²-y²=0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: da die Gleichung äquivalent ist zu $\begin{eqnarray} y²=x² \end{eqnarray}$ und x und y dementsprechend den selben Betrag aufweisen $\begin{eqnarray} \| x \|= \|y \| \end{eqnarray}$ würde ich vermuten, dass es sich, wenn man dass ganze auf die Ebene in ein Koordinatensystem projeziert eine Gerade y=x vom Ursprung nach Unendlich ergeben sollte: $\begin{eqnarray} \forall (x,y)\in \mathbb R_{\geq 0} : y=x \end{eqnarray}$
16.09.2010, 21:12	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was beschreibt die Gleichung x²-y²=0 Der Graph ist die Vereinigung zweier Geraden: y = x ebenso wie y = -x.
16.09.2010, 21:28	Dummkopf77	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh also $\begin{eqnarray} y=x\vee y=-x \end{eqnarray}$ wegen: $\begin{eqnarray} x²-y²=0(=)y²=x²(=)y=\pm x \end{eqnarray}$ ???
16.09.2010, 21:34	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. (Deine Umschreibung \|y\|=\|x\| war aber auch richtig.)
16.09.2010, 21:41	dummkopf77	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun würde ich vermuten, dass die Gleichung $\begin{eqnarray} x²-y²=1(...)y=\sqrt{1+x²} \end{eqnarray}$ also einfach die genannte Funktion beschreibt... Allerdings ist das sicherlich falsch. Siehe x²+y²=1 --> y=Wurzel(1-x²). Diese Gleichung beschreibt aber eben nicht den Kreis... wo liegt hier mein Denkfehler?
16.09.2010, 22:04	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist eine Hyperbel. (Vor der Quadratwurzel steht ein + oder ein - . [attach]16034[/attach] Und das ist der Graph von x^2 - y^2 = 0.01: [attach]16035[/attach]
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16.09.2010, 22:09	Dummkopf77	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit der Hyperbel habe ich eben auch rausgefunden als ich mir das nochmal genau angeschaut hab. Vielen dank
16.09.2010, 22:18	Dummkopf78	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Graphen: Warum genau ist da so eine Lücke? btw: Die Gleichung x²-y²=-1 wäre so eine Art um 90° gedrehte Hyperbel, oder?
16.09.2010, 22:21	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lücke ist nur kleiner als beim Graphen zuvor und sie würde sich schliessen, wenn die Konstante 0.01 durch 0 ersetzt wird. «Die Gleichung x²-y²=-1 wäre so eine Art um 90° gedrehte Hyperbel, oder?» Ja. Variiert man die Konstante -5 .. 5, so erhält man die folgende Hyperbel-Schar: [attach]16036[/attach]
16.09.2010, 22:28	Dummkopf77	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank Hast du eine Idee wie man an diese Gleichung rangehen könnte: x²-4x-16y=-19-4y² ?
16.09.2010, 22:37	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Man schafft zunächst alles nach links und bildet dann durch binomisch Ergänzen zwei Quadrate: (x-m)^2 + 4(y-n)^2 = const. und erhält eine Ellipse mit Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen, Mittelpunkt (m,n).
16.09.2010, 22:54	Dummkopf77	Auf diesen Beitrag antworten »
Donnerwetter! Ok, das mit dem umformen in binome hatte ich auch im Kopf, aber wie bist du dann dadurch zum Schluss auf die Ellipse gekommen?
16.09.2010, 23:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Achsenparallele Kegelschnitte: Ellipse: Die Koeffizienten der quadratischen Glieder haben das gleiche Vorzeichen und sind verschieden Kreis: Diese Koeffizienten sind gleich Hyperbel: Die Koeffizienten haben verschiedenes Vorzeichen; wenn sie absolut gleich sind: Gleichseitige Hyperbel Parabel: Einer dieser Koeffizienten ist 0 ______________ Noch eine Bemerkung zu $\begin{eqnarray} x^2 - y^2 = 0 \end{eqnarray}$ Es ist eine "entartete" gleichseitige Hyperbel. Die Hyperbel degeneriert in diesem Fall zu ihrem eigenen Asymptotenpaar. mY+

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