lokale gleichartige stetigkeit / komplexe funktion

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17.09.2010, 11:40	LynX1990	Auf diesen Beitrag antworten »
lokale gleichartige stetigkeit / komplexe funktion Hallo, ich hänge gerade an folgender Aufgabe: Zeigen Sie, dass die funktion: $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{z^{2}}{2} \end{eqnarray}$ lokal gleichartig stetig ist. (f: C -> C) also von den Komplexen Zahlen in die komplexen Zahlen. Ich soll das mit hilfe der Epsilon-Delta definition zeigen. Also : \| $\begin{eqnarray} f(w) - f (z) \end{eqnarray}$ \| < eps und \| $\begin{eqnarray} w - z \end{eqnarray}$ \| < delta Versucht hatte ich: \| $\begin{eqnarray} \frac{w^{2}}{2} - \frac{z^{2}}{2} \end{eqnarray}$ \| = 0.5 \| $\begin{eqnarray} w - z \end{eqnarray}$ \| $\begin{eqnarray} w + z \end{eqnarray}$ \| $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 0.5delta \| $\begin{eqnarray} w + z \end{eqnarray}$ \| aber wie kann ich das \| $\begin{eqnarray} w + z \end{eqnarray}$ \| abschätzen . wenn mir da jmd helfen könnte. gruß Lynx1990
17.09.2010, 16:08	LynX1990	Auf diesen Beitrag antworten »
also es wäre wirklich wichtig. wenn jemand eine idee hätte ? gruß lynX
18.09.2010, 15:59	LynX1990	Auf diesen Beitrag antworten »
hm ist die Aufgabenstellung nicht ganz klar? so ich es nochmal anders aufschreiben?
18.09.2010, 16:33	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn "gleichartig" stetig? Gleichmäßig stetig? Schreib doch mal die Definition von "lokal gleichartig stetig" sauber auf, ich hab das noch nie gehört vllt liegts daran.
20.09.2010, 11:04	LynX1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich merke gerade das ich da einen Fehler habe: Dieses "gleichartig stetig" bezieht sich auf Familien. Jedoch müssen alle f : U -> C aus der Familie F folgende Bedingung erfüllen wenn die Familie gleichartig stetig sein soll: Es gibt zu jedem eps > 0 ein delta > 0 sodass gilt: \| $\begin{eqnarray} f(w) - f(z) \end{eqnarray}$ \| < eps für alle $\begin{eqnarray} w,z \in U \end{eqnarray}$ mit \| $\begin{eqnarray} w - z \end{eqnarray}$ \| < delta und für alle $\begin{eqnarray} f \in F \end{eqnarray}$ . U ist eine Teilmenge von C (Komplexe Zahlen) ____________________________________ Weiter ist eine Familie LOKAL gleichartig stetig in U, wenn jeder Punkt $\begin{eqnarray} z \in U \end{eqnarray}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray} V = V(z) \subset U \end{eqnarray}$ besitzt, sodass die Familie F auf dieser Umgebung gleichartig stetig ist. ich hoffe das hilft weiter gruß LynX1990
20.09.2010, 17:17	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Nach Definition gilt: Eine endliche Familie von Funktionen ist genau dann (lokal) gleichstetig, wenn alle Funktionen (lokal) gleichmässig stetig sind. Du musst also nur überprüfen, ob $\begin{eqnarray} \frac{z^2}{2} \end{eqnarray}$ lokal gleichmässig stetig ist. Und da wir hier in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ sind, reicht es dazu schon aus, zu wissen, dass die Funktion stetig ist. Um das einzusehen, muss man nur beachten, dass $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ lokal kompakt ist (z.B. ist die Funktion auf jeder beschränkten Umgebung eines beliebigen Punktes gleichmässig stetig, da der Abschluss einer solchen Umgebung kompakt ist) Gruss
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21.09.2010, 13:24	LynX1990	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn ich das richtig verstehe, muss ich einfach nur zeigen dass die Funktion stetig ist. In der Aufgabe steht dass ich das mit der epsilon-delta-definition zeigen soll. aber wie ich geschrieben habe: Zu zeigen wenn gilt \| $\begin{eqnarray} w - z \end{eqnarray}$ \| < delta \| $\begin{eqnarray} \frac{z^{2}}{2} - \frac{w^{2}}{2} \end{eqnarray}$ \| < eps <=> \| $\begin{eqnarray} \frac{z^{2}}{2} - \frac{w^{2}}{2} \end{eqnarray}$ \| = 0.5 * \| $\begin{eqnarray} w - z \end{eqnarray}$ \|* \| $\begin{eqnarray} w + z \end{eqnarray}$ \| $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 0.5 * delta * \| $\begin{eqnarray} w + z \end{eqnarray}$ \| und hier komme ich nicht weiter. ich muss ja jetzt zeigen dass: 0.5 * delta * \| $\begin{eqnarray} w + z \end{eqnarray}$ \| < eps . aber wie kann ich \| $\begin{eqnarray} w + z \end{eqnarray}$ \| abschätzen. darf ich da einfach irgentein $\begin{eqnarray} w_{0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z0 \end{eqnarray}$ auswählen sodass das gilt??? gruß LynX
21.09.2010, 13:42	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst ja nur nachweisen, dass die Funktion an jedem Punkt x lokal gleichmässig stetig ist... Insbesondere kannst du dazu eine beschränkte Umgebung von x wählen. Mit der Dreiecksungleichung folgt aus deiner Umformung weiterhin $\begin{eqnarray} \|\frac{z^2}{2} - \frac{w^2}{2}\| \le \frac 12 (\|z\|+\|w\|) \delta \end{eqnarray}$ Nun benutze die Beschränktheit der Umgebung.
21.09.2010, 16:27	LynX1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dies möglich? Für beliebiges z und beliebiges w gibt es die Umgebungen V1(z) von z und V2(w) von w mit \|z\| < eps/2 und \|w\| < eps/2 sodass gilt \| $\begin{eqnarray} \frac{z^{2}}{2} - \frac{w^{2}}{2} \end{eqnarray}$ \| < 0.5 * delta * eps ? ist dieses gemeint? [bitte etwas nachsicht mit mir. ich beschäftige mich im prinzip zum ersten mal mit der Stetigkeit / gleichmäßigen stetigkeit]
21.09.2010, 22:36	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, da hast du das Ziel verfehlt. Also nochmal in Schritten: - Du willst zeigen, dass die Funktion lokal gleichmässig stetig ist. Was heisst das denn überhaupt? Gib die Definition kurz. - Dann: Sei $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ beliebig, wähle ein $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \|x\|<M \end{eqnarray}$ . Nimm als Umgebung von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-M, M) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} z \in (-M, M) \end{eqnarray}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray} \|z\|<M \end{eqnarray}$ . Nutze das, um in dieser Umgebung weiter abzuschätzen: $\begin{eqnarray} \|\frac{z^2}{2} - \frac{w^2}{2}\| \le \frac 12 (\|z\|+\|w\|) \delta \end{eqnarray}$ - Nun wähle Delta noch genügend klein, so dass für alle $\begin{eqnarray} z, w \in (-M, M) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|z-w\| < \delta \; \Rightarrow \; \|\frac{z^2}{2} - \frac{w^2}{2}\| < \epsilon \end{eqnarray}$
22.09.2010, 00:23	LynX1990	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, erstmal vielen dank für deine Geduld und die bisherigen Hilfestellungen. Ich möchte kurz festellen ob ich richtig liege: ich soll ja zeigen, dass die Funktion f LOKAL gleichmäßig stetig ist. Nur wegen diesem LOKAL darf man ja so eine Umgebung von z konstruieren. ich meine gerade $\begin{eqnarray} (-M,M) \end{eqnarray}$ - Ist dies korrekt ? Also verstehe ich diesen Zusammenhang richtig? _________________________________ Weiter: Wenn für alle $\begin{eqnarray} z , w \in (-M,M) \end{eqnarray}$ gelten soll: \| $\begin{eqnarray} z - w \end{eqnarray}$ \| < delta $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ 0.5 * delta (\|z\| + \|w\|) kann ich doch alle in den beiden Ungleichungen vorkommenden w,z mit M abschätzen. also sowas: delta := 2M ( wegen \| $\begin{eqnarray} z - w \end{eqnarray}$ \| < delta) und eps:= Mdelta (wegen 0.5 * delta (\|z\| + \|w\|)) Stimmt diese Abschätzung? ____________________________________________ Irgentwie habe ich probleme mit der Folgerung in der Definition der gleichmäßigen stetigkeit. oder eher gesagt das so wie ich mir das denke , dass das delta mit dem epsilon nix zu tun hat ...
22.09.2010, 00:44	LynX1990	Auf diesen Beitrag antworten »
weiter behaupte ich jetzt einfach mal folgendes: wenn eps = M * delta gilt (vorheriger Post) dann bedeutet dies auch delta = eps / M . Daraus folgt das es für jedes eps > 0 ein delta gibt und daraus folgt die gleichmäßige stetigkeit. gruß LynX1990
22.09.2010, 22:14	LynX1990	Auf diesen Beitrag antworten »
liege ich damit richtig?
22.09.2010, 22:49	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, du kannst aber nicht Epsilon wählen, sondern musst zu gegebenem Epsilon ein Delta (in Abhängigkeit von Epsilon) wählen. Aber das mit der Abschätzung durch M ist schonmal die richtige Idee! Übrigens habe ich vergessen, dass es um komplexe Zahlen geht, also macht das Intervall (-M, M) hier nicht viel Sinn, man muss das durch den offenen Ball mit Radius M ersetzen.
22.09.2010, 23:24	LynX1990	Auf diesen Beitrag antworten »
ich dachte das so das ich das aus der Ungleichung bekomme: insgesamt: \| $\begin{eqnarray} \frac{w^{2}}{2} - \frac{z^{2}}{2} \end{eqnarray}$ \| < delta * M < eps daraus erhalte ich delta:= eps / M . auf diese weise gibt es doch zu jedem eps ein delta wenn z.b. eps = M ist dann ist delta = 1 Damit ist doch die Definition erfüllt
22.09.2010, 23:41	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du das so meintest, dann stimmts.
23.09.2010, 13:47	LynX1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das ein Test ?? willst du mich verwirren oder ist das irgentwie falsch? also ich danke dir in jedem Fall für deine Hilfe! Ich finde es erstaunlich wie viel Geduld die meisten Helfen in diesem Forum haben.

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