Multiplikatorenregel von Lagrange

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SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplikatorenregel von Lagrange
Meine Frage:
Die Aufgabe lautet:
Emitteln Sie mit Hilfe der Multiplikatorenregel von Lagrage diejenigen Punkte (x,y) E R² auf der Kurve x²+y²-2x+1=0, die vom Punkt (-1,1) den kleinsten bzw. den größten Abstand haben. Geben Sie die Abstände an.

Meine Ideen:
Ich weiß hier leider gar nicht wie ich anfangen soll und noch schlimmer was die Lagrage-Multiplikatorenregel ist.
Wäre für Erklärungen dankbar.
Julia
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie kann ich mir schwer vorstellen das Du eine Aufgabe kriegst in der Du die Begrifflichkeiten nicht kennst. Steht in deinen Aufzeichnungen nichts zur Lagrangemethode?
Müsste im Abschnitt Optimierung unter Nebenbedingungen zu finden sein.
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
ja wir haben ein Skript, das aber sowas von durcheinander und unverständlich ist, dass eigentlich keiner mit lernt, ich habe im gelben Rechnbuch, meinem Lieblingsbuch nachglesen, aber nicht wirklich verstanden was das bedeutet.
Und bevor ich hier mein Thema neu eröffnet habe, habe ich auch erst gesucht, aber nichts allgemeines oder mir verständliches gefunden.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir an Du hast k Nebenbedingungen der Art und eine Zielfunktion , dann benutzen wir diese Nebenbedingungen um eine neue Funktion mit Hilfe der Lagrangemultiplikatoren zu definieren :



Die Lambdas sind die Lagrangemultiplikatoren. Diese Funktion liefert dann kritische Punkte für die Funktion f unter den Nebenbedinungnen. Du hast eine Nebenbedingung :

x²+y²-2x+1=0

Die Funktion f musst Du aber noch finden! Die hat was mit dem Abstand zu tun.
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

Den Abstand von zwei Punkten bekomme ich doch über Satz des Pythagoras.
(x2-x1)²+(y2-y1)²=Abstand²
Dann müsste man den Punkt (-1,1) einsetzen und erhält dann:
(x2+1)²(y2-1)²=Abstand²
Also heißt die Funktion soweit erstmal:

Stimmt das soweit?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@SternchenJulia:
Die Kurve kann man auf die Form bringen. Gibt's außer dem Punkt (1|0) noch andere reelle Punkte Punkt (x|y), die diese Gleichung erfüllern?
 
 
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

@ Ehos:
Der Nullpunkt ist doch (0/0)...? Und erfüllt die Gleichung eigentlich nicht, weil dann erhalte ich ja 1=0.
(1/0) erfüllt die Gleichung und (0/1) bzw (0/-1) auch.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Stimmt das soweit?


Du sollst nicht das Quadrat des Abstandes optimieren, sondern den Abstand, also ist



Achte sorgfältig auf deine Bezeichner. Ansonsten hast Du nur eine Nebenbedingung, das heisst Du kannst die Summe weglassen, und hast auch nur einen Lagrangemultiplikator.

Ansonsten vereinfacht Ehos beitrag das Ganze natürlich enorm.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@SternchenJulia
Sorry für meinen Schreibfehler. Ich meinte nicht den Nullpunkt (0|0), sondern den Punkt (1|0). Dieser Punkt (1|0) ist meiner Meinung nach der einzige Punkt, für den deine "Kurvegleichung" gilt. Hast du diese Gleichung eventuell falsch abgeschrieben?
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

@ Ehos: Sorry, mein Fehler, hab - statt plus vor dem y gelesen.
Dann ist natürlich nur der Punkt (0/1) richtig.
@Mazze:
Eigentlich hast du Recht, aber wäre das theoretisch nicht egal, weil der kleinste Abstand im Quadrat ist immer noch kleiner wie irgendein größerer Abstand im Quadrat.
Aber der Richtigkeithalber:
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

und wie mache ich jetzt weiter?
Ich habe hier ja nur eine Nebenbedinung, also nur ein lambda.

Und für diese Funktion (kann man die noch vereinfachen außer das lambda in die Klammer zu ziehn?) muss ich jetzt auf Minima und Maxima untersuchen, oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
entlich hast du Recht, aber wäre das theoretisch nicht egal, weil der kleinste Abstand im Quadrat ist immer noch kleiner wie irgendein größerer Abstand im Quadrat.


Beim Komparativ benutzt man "als" nicht "wie".

Was die Frage angeht, du bekommst wenn Du das quadrat betrachtest mehr kritische Punkte die Du überprüfen musst. Insbesondere auch negative Abstände, was keinen Sinn ergibt. Und wie ich schon sagte, das Summenzeichen kannst Du weglassen, Du hast nur eine Nebenbedingung. Ausserdem ergibt



keinen Sinn. Ich habe nicht umsonst gesagt, dass Du auf die Bezeichner achten sollst. Richtig :



Die Frage mit der Nebenbedingung von Ehos ist aber immer noch offen.
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

Bin eben Pfälzerein, da gibts nur wie Augenzwinkern
Summenzeichen hab ich ja dann weggelassen.
Welche Frage ist noch offen? Sorry, konnte grad keine finden, die ich nicht versucht habe zu beantworten.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nebenbedingung

lässt sich umformen zu



Wie man sieht gibt es ausser x = 0, y = 1 keine reelle Lösung. Das bedeutet Du hättest nur den Abstand von (0,1) zu (-1,1) zu betrachten. Und dafür brauchst Du den ganzen Optimierungsapparat nicht.

In anderen Worten : Deine Nebenbedingung schränkt die Anzahl der zu betrachtenden Punkte auf einen ein, (die Aufgabe wäre also trivial), daher vermutete Ehos einen Fehler in dieser.
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ja ich hab den bösen Fehler entdeckt:





Dann kann man das aber folgendermaßen umformen:



und somit hab ich als Formel:


SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

Und als Lösung für die Nebenbedingung den Punkt (1/1)
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann kann man das aber folgendermaßen umformen:



Da hast Du falsch umgeformt. Man kann es lediglich zu

oder zu



umformen.
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

oder so?

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das geht.
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

Und dann als Lösung für die Nebenbedinung der Punkt (1/-1).
Wieso muss ich das überhaupt machen? Was sagt mir dieser Punkt?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Als erstes leitest Du die Funktion z nach x,y und lambda ab. Dann setzt Du das Ganze = 0 und bestimmst aus den Gleichungen den Parameter Lambda. Setzt Du diesen in die Gleichungen ein erhälst Du Kandidaten für die Extremalstellen. Diese müssen dann mit der Funktion f geprüft werden.
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mich nicht verrechnet habe bei den ganzen inneren und äußeren Ableitungen, kommt bei der Ableitung nach x raus:
(x+1) / Wurzel von [(x+1)²+(y-1)²] +lambda * 2 * (x-1)
Stimmt das so?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja!
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist meine Ableitungsmatrix:
L=
((x+1) / Wurzel von [(x+1)²+(y-1)²] +lambda * 2 * (x-1)
(y-1) / Wurzel von [x+1)²+(y-1)²]+ lambda * 2 * (y+1)
(x-1)² + (y+1)²-1 )
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ganze 0 setzen und Lambda bestimmen.
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

Bin ich schon dabei, ist aber nicht so ganz einfach. kann wohl etwas dauern...
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

Bestimme ich Lambda dann in Abhängigkeit von x und y oder?
Wozu brauche ich denn den Punkt, den ich für die Lösung der NB rausbekommen
und noch eigentlich zu ganz am Anfang, woher weiß ich was NB ist?
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, komm gerade nicht drauf, ist etwas zu verwirrend,
mach erstmal ne Mathepause, fahr nach karlsruhe noch ein paar Blätter holen und versuchs dann nochmal.
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

Hab die erste nach Lambda umgeformt und in die zweite eingesetzt
und erhalte jetzt erstmal:
4yx²+4x²-3=5y
-> x²= 2 / (y+1)
und dass kan ich dann, wenn ich Wurzel gezogen habe in die dritte Gleichung einsetzt
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »



äh, ja das ist mein y-Term, aber ich komm grad echt nicht weiter.

In den Lösungen steht für x1,2=1-+1/ Wurzel 2 und y1,2=-x1,2.
Allerdings steht in der Lösung auch, dass man das so machen kann,
das man auch den Abstand im Quadrat nehmen kann.
Das Problem ist, das die Lösungen auch nicht immer korrekt sind unglücklich
SternchenJulia Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt eine andere Aufgabe versucht, nachdem ich hier nicht weiterkam und die hab ich anscheinend richtig gelöst, bin nach dem Prinzip hier vorgegangen und es hat geklappt smile

dankeschön für die Hilfe
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Mazze

Grundsätzlich hat das Quadrat einer Wurzelfunktion an der selben Stelle das Extremum wie die Wurzelfunktion selbst, wenn man allerdings auf Stellen, welche Nullstellen des Radikanden sind, verzichtet. Diese Vereinfachung der Ansatzfunktion kann den Rechenvorgang enorm vereinfachen.

mY+
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