Sigma Algebra

17.09.2010, 13:43

Black

Sigma Algebra

Zu zeigen ist:

Wenn $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ eine Sigma Algebra über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist, und $\begin{eqnarray*} A,B \in \Omega \end{eqnarray*}$ , dass dann auch $\begin{eqnarray*} \{A \setminus B\} \subset \sigma \end{eqnarray*}$ gilt.

Mein Ansatz wäre $\begin{eqnarray*} A \setminus B = A \bigcap B^c \end{eqnarray*}$ aber warum die rechte Seite Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ist kann ich auch nicht wirklich begründen.

Ein weiteres Problem: Bei der Voraussetzung heißt es ja nur $\begin{eqnarray*} A,B \in \Omega \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} A,B \subset \sigma \end{eqnarray*}$ .
Wäre es dann nicht möglich, dass $\begin{eqnarray*} \sigma=\{\varnothing, \Omega\} \end{eqnarray*}$ ist, und dann wäre die behauptung doch falsch?

17.09.2010, 13:59

Mazze

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Zitat:

Wäre es dann nicht möglich, dass ist, und dann wäre die behauptung doch falsch?

Absolut richtig bemerkt. Ich vermute einfach einen Tipfehler. Es soll sicher $\begin{eqnarray*} A,B \in \sigma \end{eqnarray*}$ heissen. Zum Beweis :

Zitat:

Mein Ansatz wäre

Ist doch super. Betrachte mal

$\begin{eqnarray*} A \cap B^c = ((A \cap B^c)^c)^c \end{eqnarray*}$ (Stichwort de Morgan)

17.09.2010, 14:10

Black

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Danke, damit hast du mir schon sehr viel geholfen.

Dann kann ich ja sagen, dass wegen der Vereinigungsstabilität $\begin{eqnarray*} A^c \bigcup B \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} (A^c \bigcup B)^c = A \bigcap B^c \in \sigma \end{eqnarray*}$ ist, also $\begin{eqnarray*} \{A \setminus B\} \subset \sigma \end{eqnarray*}$

17.09.2010, 14:12

Mazze

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richtig!

17.09.2010, 14:15

Black

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Danke dir

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Sigma Algebra

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