Differentialgleichung mit getrennten Variablen |
| 17.09.2010, 14:09 | SpOon27 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Differentialgleichung mit getrennten Variablen Guten Tag, habe ein Problem bei folgender Aufgabe: xu`= u³+u 1) Geben sie den Typ an! 2) Bestimmen Sie die allg. Lösung der DGL Meine Ideen: So mein Ansatz lautet: Ich würde sagen, dass es eine DGL mit getrennten Variablen ist da: u`=(u³+u) * 1/x wenn ich jetzt dx/du = (u³+u) * 1/x umstelle habe ich 1/(u³+u) du = 1/x dx 1/x aufgeleitet ergibt lnx +c so mit der Partialbruchzerlegung kriege ich für 1/(u³+u) folgendes: 1/u - u/(u²+1) 1/u aufgeleitet ist dann ln u das andere habe ich dann mit partielle Integration auf arctan u - arctan u - 1/2 ln (u²+1) beides Zusammen ist dann lnu- 1/2 ln (u²+1) = ln x + C Meine Frage ist das soweit richtig und wenn ja was mache ich jetzt? Normalerweise muss man nach u umstellen. Danke schonmal für evtl Hilfestellungen |
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| 17.09.2010, 14:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Differentialgleichung mit getrennten Variablen
Einfacher geht das in meinen Augen mit Substitution v = u². Ansonsten ist das ok. Jetzt mußt du das Ergebnis nach u auflösen. Und bitte: nicht "aufleiten" sagen. "Aufführen" ist ja auch nicht das Gegenteil von "abführen". 
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| 17.09.2010, 17:58 | SpOon27 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo, danke erstmal. ja das nach u umstellen fällt mir ja gerade schwer! Komm gerade irgendwie nicht darauf. Ja stimmt mit der Substition geht es wesentlich schneller und einfacher. Zuerst könnte man ja das ganze mit der Umkehrfkt von ln also e einfacher gestalten aber irgend wie macht mir das u-u²+1 zu schaffen |
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| 17.09.2010, 18:09 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also das ist jetzt kein Hexenwerk. Zeig, was du rechnest, und dann sehen wir weiter. |
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| 17.09.2010, 18:12 | SpOon27 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also mit der Umkehrfkt von ln komme ich dann auf u- 1/2 (u²+1) = x + e^C =>u- 1/2 u² =1/2 + x + e^c das einzige was mir dann spontan einfällt wäre das u noch auszuklammern. |
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| 17.09.2010, 18:21 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und da liegt schon der Hase im Pfeffer, weil du einschlägige Rechenregeln einfach mal so ignorierst. |
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| 17.09.2010, 18:30 | SpOon27 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mmmmh kann es sein das ich die Umkehrfkt nicht machen darf weil das eine von u abhängt das andere von x? Ansonsten würde mir dazu noch einfallen, dass ich das 1/2 so setzte: ln u - ln (u²+1)^1/2 aber wüsste nicht was mir das bringt muss jetzt leider erstmal weg aber danke schonmal |
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| 17.09.2010, 18:32 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ist denn die Umkehrfunktion und welche Regeln gelten für diese? |
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| 18.09.2010, 09:58 | SpOon27 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also wenn ich z.b folgendes habe sin x = 1/2 dann ist x = arcsin von 1/2 deswegen versteh ich nicht so richtig was daran falsch ist Wenn f : A -> B eine bijektive Funktion ist, dann bezeichnet f^{-1} : B -> A die Umkehrfunktion sorry aber leider kein Idee dazu aber zu ln u - 1/2 ln (u²+1) kann ich wegen folgender Regel: ln (a/b) = ln a - ln b das auch zusammenfassen als 1/2 ln ( u / u²+1) oder geht das wegen des Faktor 1/2? |
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| 18.09.2010, 13:13 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was du nicht beachtet hast, sind die Logarithmen- bzw. Potenzgesetze! Eine logarithmische Gleichung wird mittels Entlogarithmieren umgeformt, d.h. beide Seiten als Exponent der Basis geschrieben. z.B.: mY+ |
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| 18.09.2010, 14:35 | SpOon27 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also wenn ich das jetzt richtig betrachte kommt dann folgendes raus? wenn ich mal nur die rechte Seite betrachte habe ich ln x +c nach den Gesetzen kommt da dann xe^c raus? und auf der linken Seite 1/2 (u/(u²+1) ? so das ich Insgesamt erhalte 1/2 (u/u²+1) = xe^c ? |
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| 18.09.2010, 15:12 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du schaffst es immer noch nicht, Logarithmusregelen bzw. Potenzregeln regelkonform anzuwenden. Dabei ist es so einfach, wenn du das mal ordentlich aufschreibst. Auf ln u - 1/2 ln (u²+1) die e-Funktion anwenden führt zu: Und jetzt die Regeln anwenden. |
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| 18.09.2010, 15:38 | SpOon27 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mmmh also gucken wir mal dann kommt wenn ich alle Regeln anwende dann fällt ln weg und ich habe dann ziehe ich das u² heraus kürze und erhalte richitg soweit? |
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| 18.09.2010, 15:44 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Ergebnis stimmt, und ich würde das auch so stehen lassen. Aber wie du auf
kommst, ist mir nicht klar. |
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| 18.09.2010, 15:54 | SpOon27 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn ich 1/2 ln (u²+1) habe kann ich das auch so schreiben ist das dann nicht |
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| 18.09.2010, 18:19 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist richtig. Und was hat das ln(1), was ja auch gleich Null ist, im Exponenten der e-Funktion zu suchen? |
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| 18.09.2010, 19:05 | SpOon27 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ups da habe ich mich verschrieben. sry kommt nicht nochmal vor danke für die Hilfe. Da sieht man wieder das die Beherschung der Grundrechenregeln sehr wichtig ist Jetzt ist es dann auch leicht nach u umzustellen |
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