Iterationsverfahren - Verständnisprobleme

17.09.2010, 14:50

sobi

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Iterationsverfahren - Verständnisprobleme

Guten Tag,

ich beschäftige mich seit kurzer Zeit mit den Iterationsverfahren und habe noch Verständnis-Probleme was die Berechnung angeht.
Das Umstellen nach x=f(x) fällt mir schon schwer und da ich ohne diesen ersten Schritt schon gar nicht weiter machen kann, hoffe ich hier auf Hilfe.

Beispielhaft diese beiden Funktionen:

$\begin{eqnarray*} a) f(x)=\frac{1}{4}x^3 sinx + \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) f(x)=\frac{x}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{32}sin(5\pi x) \end{eqnarray*}$

Nach welchen Verfahrensregeln muss man vorgehen, um x auf die andere Seite zu bringen?

Ich füge noch den weiteren Aufgabentext hinzu, damit ich, hoffentlich mit eurer Hilfe, auf Lösungsfindung gehen kann.

1. Zeige, dass es im Intervall [0;1] genau eine Loesung der Gleichung x=f(x) gibt; durch
a) f bildet das Intervall [0;1] in sich ab und
b) nachweisen, dass f kontrahierend ist - Aufgabe b) ist nicht monoton!

2. Wie viele Iterationsschritte sind ausgehend vom Startwert $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ laut a-priori-Abschätzung höchstens nötig, um den Fixpunkt mit einer Genauigkeit von $\begin{eqnarray*} e=10^{-3} \end{eqnarray*}$ zu approximieren?

Ich bedanke mich!

17.09.2010, 14:52

tigerbine

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RE: Iterationsverfahren - Verständnisprobleme
Der Text zielt klar auf die Anwendung des Fixpunktsatzes von Banach ab.

Zitat:

1. Zeige, dass es im Intervall [0;1] genau eine Loesung der Gleichung x=f(x) gibt; durch
a) f bildet das Intervall [0;1] in sich ab und
b) nachweisen, dass f kontrahierend ist - Aufgabe b) ist nicht monoton!

Na, dann machen wir das doch einfach mal.

$\begin{eqnarray*} a) f(x)=\frac{1}{4}x^3\sin(x) + \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

Bringt dich das Bild auf eine Idee, wie man (a) nachweisen kann? Genau. Und, wie macht man es?

17.09.2010, 15:17

sobi

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stehe wohl noch auf dem berühmten Schlauch geschockt

geschockt

mir leuchtet nicht ein wie ich ein x nach rechts bekomme und wie dann die Gleichung links aussehen soll.

17.09.2010, 15:23

tigerbine

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Du musst schon genau lesen. Ich habe den Aufgabentext nicht grundlos zitiert. Wo steht da "bringe x nach rechts". Nirgends. Du sollst (a) begründen. Wie machst du das?

17.09.2010, 15:31

sobi

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Wenn ich Werte in f(x) einsetze, müssen diese im Intervall liegen.

17.09.2010, 15:33

tigerbine

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Das meinst du nun doch nicht ernsthaft als Antwort, oder? Willst du es für jeden Wert einzeln prüfen oder wie hast du dir das vorgestellt. verwirrt

verwirrt

Zitat:

Du sollst (a) begründen. Wie machst du das?

Ich sagte begründen, und nicht wiederhole die Aufgabenstellung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also mit dem plot sollte die Idee doch nun nicht so schwer zu finden sein...

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17.09.2010, 15:40

sobi

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in "meinem" Skript, steht "Wenn man einen beliebigen Wert in f einsetzt, muss ein Wert im Intervall herauskommen"

dann folgt die 1. Ableitung zur Monotonieuntersuchung

Vielleicht verwirren mich die obigen Aussagen.

17.09.2010, 15:43

tigerbine

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Ja sicher, aber du musst unterscheiden zwischen

* Was soll ich zeigen?

* Wie zeige ich es?

Ich hatte nach zweiterem gefragt, da ersteres ja die Aufgabenstellung ist und ich doch angenommen habe, dass diese klar genug formuliert ist. Also, können wir nun (endlich) damit beginnen, (a) nachzuweisen? Idee!

Idee!

17.09.2010, 15:50

sobi

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die Selbstabbildung wird geprüft, indem man beide Intervallgrenzen in f setzt.

17.09.2010, 15:57

tigerbine

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nö. das reich doch nicht aus...

17.09.2010, 16:03

sobi

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also Nullstellen berechnen?

17.09.2010, 16:23

tigerbine

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Du weist schon, dass du mit meiner Geduld spielst, oder? Das war ein Beispiel, das zeigt, dass die Randwerte i.A. zu einer Aussage doch gar nichts taugen. Warum taugen sie bei deiner Aufgabe (a) etwas? ---> Bild angucken, und vermutete Eigenschaft (Monotonie) nachweisen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.09.2010, 16:25

sobi

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hoffe ich hab dich nicht verärgert unglücklich

unglücklich

aber die Materie ist neu für mich und die Zusammenhänge erschließen sich mir leider (noch) nicht traurig

traurig

Dann lese ich was mit Tangente, Bisektion usw.

An anderer Stelle steht, bei streng monotonen Funktionen reicht die Betrachtung der Intervallgrenzen, zum Beweis der Selbstabbildung.

17.09.2010, 16:28

tigerbine

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Du sollst nicht irgendwo rum lesen, sondern hier meine Fragen beantworten. Dazu musst du ein wenig den Schulwissen reaktivieren. Selbst nachdenken ist hier gefragt.

Plot anschauen, das Ding wird ws monoton steigend auf [0,1] sein. Wie weißt man das nach? Erste Ableitung auf VZ prüfen. Dann reicht es die Randwerte auf Zugehörigkeit zu [0,1] zu prüfen.

Also, im nächstes Post möchte ich nun Taten sehen. smile

smile

17.09.2010, 16:37

sobi

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wenn meine Berechnung stimmt ist die
1. Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}x^3cosx+\frac{3}{4}x^2sinx \end{eqnarray*}$

für x=0 habe ich 0.25

und x=1=0.766

17.09.2010, 16:42

tigerbine

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RE: Iterationsverfahren - Verständnisprobleme
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4}x^3\sin(x) + \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)= \frac{1}{5} =0.2 \end{eqnarray*}$ => Bild angucken!

$\begin{eqnarray*} f(1)=0.41 \end{eqnarray*}$ => Bild angucken!

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{3}{4}x^2\sin(x) +\frac{1}{4}x^3\cos(x) \end{eqnarray*}$

Fallen dir nun Argumente für $\begin{eqnarray*} f'(x)\leq 0 \end{eqnarray*}$ für x aus [0,1] ein?

17.09.2010, 16:50

sobi

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am Graphen sehe ich das die Funktion im Intervall ansteigt und nicht <0 wird.

ist 0.776 nun auch mein "q"?
Da die 1. Ableitung monoton wachsend ist, nehme ich den rechten Intervallwert für "q". q<1

17.09.2010, 16:57

tigerbine

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Das sind doch unzureichende Antworten. Meine Bilder sollen motivieren, was du nachweisen sollst. unglücklich

unglücklich

Zitat:

ist 0.776 nun auch mein "q"?

Was soll das nun sein? Wir sind hier noch bei "liegen wie im Intervall". verwirrt

verwirrt

Zitat:

für x=0 habe ich 0.25

und x=1=0.766

Und ich soll raten, wo du das eingesetzt hast? Nun nimm dir mal ein bisschen Zeit und formuliere hier mal eine saubere Antwort. Dieses "Hinwerfen von Brocken" kann es nicht sein. Es ist deine Aufgabe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir sind immer noch dabei die Selbstabbildung nachzuweisen. Dazu möchte ich nun in einem vollständigen Satz eine Begründung hören, Flsokeln wie "Sieht man im Bild" gehören da nicht rein." Es ist doch nun wirklich nicht so schwer.

1. Randwerte
2. Begründung für Monoton ansteigend, d.h. Ableitung wird nicht negativ. Denke mal über das Verhalten von Sinus und Cosinus auf [0,1] nach. Letztes Bild zeigt es doch schon, was zu tun ist.

smile

smile

17.09.2010, 17:19

sobi

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Also wenn ich x0 = 0 setze und diesen Wert in f einsetze erhalte ich 0.2

und das ganze für x1=1 ist 0.410.

Da diese Werte im Intervall [0;1] liegen und f monoton wächst aufgrund der 1. Ableitung d.h f(0) < f(x) < f(1) ist die Funktion selbstabbildend.

sin und cos sind ebenfalls positiv in [0;1]

weiter blick ich noch nicht durch

mit q meinte ich die Kontraktionskonstante, aber dafür ist die Zeit wohl noch nicht reif. smile

smile

17.09.2010, 17:22

tigerbine

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Zitat:

Original von sobi
Also wenn ich x0 = 0 setze und diesen Wert in f einsetze erhalte ich 0.2

und das ganze für x1=1 ist 0.410.

Da diese Werte im Intervall [0;1] liegen und f monoton wächst aufgrund der 1. Ableitung d.h f(0) < f(x) < f(1) ist die Funktion selbstabbildend.

Der Satz bekommt ein Fehlzeichen. Woher weißt du dass mit der Monotonie? Da fehlt der Nachweis. So ist es nur eine Behauptung.

sin und cos sind ebenfalls positiv in [0;1]

Dann nutzte das doch aus um die Monotonie zu begründen

weiter blick ich noch nicht durch

mit q meinte ich die Kontraktionskonstante, aber dafür ist die Zeit wohl noch nicht reif. smile

smile

richtig. Du sollst einen Schritt sauber nach dem anderen tun. sonst bringt das hier nichts.

17.09.2010, 17:30

sobi

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zur Monotonie:

in die erste Ableitung setze ich die Intervallgrenzen ein...

also für x0=0 und erhalte 0.25

und für x1=1=0.766

außerdem werden die Werte von sin und cos im Intervall nicht <0
=> f'(x) monoton wachsend.

So?

17.09.2010, 17:37

tigerbine

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RE: Iterationsverfahren - Verständnisprobleme
Nein. Du sollst nicht f' auf Monotonie untersuchen sondern f.

f(0)>0.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{3}{4}x^2\sin(x) +\frac{1}{4}x^3\cos(x) \end{eqnarray*}$

Sinus und Cosinus sind in [0,1] nichtnegativ. x ist nichtnegativ. Also die ganze Ableitung nichtnegativ. Für f bedeutet dies, dass die Funktion monoton steigend ist. Bleibt offen, ob sie zu stark ansteigt.

f(1)<1.

Nein, also passt das.

=> Selbstabbildung nachgewiesen.

Nun kommt

Zitat:

b) nachweisen, dass f kontrahierend ist

Wie lautet die Definition einer Kontraktion? wie bringen wir das Wissen um die Monotonie hier gut ein, um den Kontraktionsparameter anzugeben?

17.09.2010, 17:45

sobi

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Kontraktionsbedingung:
$\begin{eqnarray*} q=sup|f'(x)|<1 (x\in I) \end{eqnarray*}$

Da ich weiß das f monoton steigend ist, liegt das Supremum an der rechten Intervallgrenze.

f'(1)=0.776 < 1

q=0.776

also ist die Funktion kontrahierend.

17.09.2010, 17:48

tigerbine

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Naja, formal lautet die anders, aber wir kommen so weiter. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann kannst du dir mal in Ruhe Gedanken zur (b) machen.

17.09.2010, 18:25

sobi

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zu b)

da keine Monotonie ->

Extrempunkte berechnen - dazu 1.Ableitung = 0 setzen

1. Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{5}{32}* \pi cos(5\pi x)+\frac{1}{4}=0 \end{eqnarray*}$

...
Hmmm ich komme für eine Extremstelle auf 1.73251 und diesen in die Funktion eingesetzt auf den Extrempunkt=0.9604.

Kannst du das bestätigen?

Ich muss mal was essen smile

smile

17.09.2010, 18:56

sobi

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ich melde mich morgen wieder - hoffe du kannst mir dann weiter auf die Sprünge helfen.

Vielen Dank für die geduldige Hilfe! Gott

Gott

17.09.2010, 19:33

tigerbine

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Morgen bin ich nicht da.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{32}\sin(5\pi x) \end{eqnarray*}$

Ok, ist nicht monoton. Aber das ist auch egal. Randwerte und lokale Extrema bestimmen. Auf [0,1] Zugehörigkeit checken.

Ableitung batragsmäßig untersuchen.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{4}+\frac{5\pi}{32}\cos(5\pi x) \end{eqnarray*}$

Good luck. smile

smile

18.09.2010, 21:02

sobi

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Ich bin's nochmal Wink

Wink

Also diese Ableitung auf Nullstellen zu untersuchen bereitet mir Probleme, vor allem find ich es sehr Zeit aufwendig, wenn ich mir dann noch den Graphen dazu anschaue. Da gibt es doch bestimmt ein "Trick" oder verwirrt

verwirrt

Vielleicht habe ich auch blöd umgestellt.

Achso für den kleinsten Nullstenwert kam ich auf 0.134 und 0.934 für den größten - laut deiner Grafik müsste das doch stimmen?

------

Ein paar unklare Fragen habe ich noch und bevor ich eine vergesse, schreibe ich sie lieber jetzt schon mal hin...

1) ich habe vorhin eine alte Klausuraufgabe entdeckt, bei der das Intervall als $\begin{eqnarray*} ]1,\infty[ \end{eqnarray*}$ angegeben wird und neben einer Iterationsfunktion auch ein geeignetes Intervall bestimmt werden soll.
Wie komme ich auf einen geeigneten rechten Intervallwert?
Vielleicht gebe ich mal die Funktion an: $\begin{eqnarray*} 2x^2 -ln(x) + 2 \end{eqnarray*}$

2) was mich am Anfang des Threads schon verwundert hat, war die Umstellung des x in einigen Aufgaben, die ich mir im Internet angeschaut hatte.
Brauche ich das nun gar nicht zu machen oder ist das von Fall zu Fall verschieden?
Bei den zwei Aufgaben oben, sind wir zumindest nicht so vorgegangen.

So das war's schon, vielleicht hast du ja morgen oder am Montag noch etwas Muse mir die Dinge zu erklären. Ich bin schon gespannt Big Laugh

Big Laugh

Ich danke für's Lesen Tanzen

Tanzen

20.09.2010, 21:01

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{4}+\frac{5\pi}{32}\cos(5\pi x) \end{eqnarray*}$

Hier wird nur wissen über den Cosinus benötigt. Periode wurde eben verkleinert. Damit lassen sich die Extremwerte bestimmen.

Zitat:

Wie komme ich auf einen geeigneten rechten Intervallwert?

suche einen Vorzeichenwechsel. Klassische Wertetabelle

Zitat:

was mich am Anfang des Threads schon verwundert hat, war die Umstellung des x in einigen Aufgaben, die ich mir im Internet angeschaut hatte.

Viel zu allgemein formuliert. Vielleicht war vorher ein Nullstellenproblem, das dann zur Fixpunktgleichung gemacht wurde oder umgekehrt. Kann ich so nicht sagen. Beispiele in den Workshops.

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