kritische punkte einer funktion mehrerer veränderlicher

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nils mathe lk hems Auf diesen Beitrag antworten »
kritische punkte einer funktion mehrerer veränderlicher
die funktion lautet





hessematrix:



das war aufgabenteil eins

nun soll ich die kritischen punkte bestimmen und deren charakter!

dazu die beiden gradienten nullsetzen und x und y damit bestimmen.







für

das ergebnis in die andere gleichung einsetzen, die da lautet:









für den charakter muss ich die werte dann in der hessematrix einsetzen und schauen ob die matrix positiv, negativ oder indefinit ist für min, max und sattelpunkt ...




diese ist indefinit also ein sattelpunkt.
hauptdeterminante negativ hauptunterdet positiv




diese ist indefinit also ein sattelpunkt.
hauptdeterminante negativ hauptunterdet positiv


ich bin mir nicht sicher, ob das so richtig ist, da mir die zwei sattelpunkte seltsam erscheinen...
wenn jemand vllt den fehler in meinem rechenweg findet und mir zeigen könnte wäre ich dem sehr verbunden Augenzwinkern
nils mathe lk hems Auf diesen Beitrag antworten »

hab sie mal bei wolfram alpha geplottet dann sieht das ganze so aus.

[attach]16042[/attach]
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

du hast richtig gerechnet, aber dabei nicht bedacht, dass es noch mehr Stellen gibt, und zwar hast du beim Gradienten 0 setzen, nur x=1 bedacht bei der Gleichung , aber was ist mit y=0? Nimm diese Voraussetzung und setz es in die 2. Gleichung ein!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
latex


code:
1:
[latex]\nabla[/latex]
nils mathe lk hems Auf diesen Beitrag antworten »

für für sprich

in der funktional-/hessematrix:



das ist dann positiv definit heißt dass dann es ist ein minimum wenn ich das auf die extrema von früher mit nur einer veränderlichen denke?

weil ich hab hier einen satz, der besagt wenn ein innerer punkt von D(f), was hier zutrifft.

gilt



trifft zu!

allerdings soll danach auch gelten,



und das ist ja wohl falsch oder?
da 0 < 0 gilt jetzt nicht oder ist das ein sonderfall?
dann kann man nämlich weil das gelten sollte -.-, sagen dass wenn ist es ein minimum und andersrum ein maximum.

jetzt trifft aber der eine punkt nicht zu -.-
oder ist (0,0) kein innerer punkt?

also an für sich trifft das ja zu, dass 0,0 ein minimum ist usw aber die anfangsbedingung stimmt irgendwie nicht unglücklich
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

die matrix ist postiv semidefinit, deshalb kannst du auf diesem wege keine aussage über den kritischen punkt treffen, du musst eine andere möglichkeit in betracht ziehen, den punkt zu untersuchen.
 
 
nils mathe lk hems Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von nils mathe lk hems
weil ich hab hier einen satz, der besagt wenn ein innerer punkt von D(f), was hier zutrifft.

gilt



trifft zu!

allerdings soll danach auch gelten,



und das ist ja wohl falsch oder?
da 0 < 0 gilt jetzt nicht oder ist das ein sonderfall?
dann kann man nämlich weil das gelten sollte -.-, sagen dass wenn ist es ein minimum und andersrum ein maximum.

jetzt trifft aber der eine punkt nicht zu -.-
oder ist (0,0) kein innerer punkt?

also an für sich trifft das ja zu, dass 0,0 ein minimum ist usw aber die anfangsbedingung stimmt irgendwie nicht unglücklich


hilft mir der satz weiter?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

formulieren wir diesen satz mal um:
wir könnten auch als hinreichende bedingung für ein extremum schreiben:

.


wenn ist, so liegt ein sattelpunkt vor.
was ist nun, wenn ?
irgendeine idee?
betrachte einmal die determinante der hesse-matrix.....

p.S.: unter zuhilfenahme dieses satzes kann man meines wissens nach jedoch keine aussage treffen, um was für ein extremum es sich handelt.

edit:
ach so, eine möglichkeit (meines erachtens die einfachste) herauszufinden, ob und was für ein extremum vorliegt ist, zu untersuchen, wie sich die funktion in einer epsilon-umgebung um den kritischen punkt verhält.
nils mathe lk hems Auf diesen Beitrag antworten »

hmm
also, wenn ich für und sehr kleine werte nehme, dann wird die funktion auf jedenfall positiv und
die begingung





ist gegeben und über die funktionalmatrix kann ich das gleiche sagen...



wird die hauptdeterminante 4 und die hauptunterdeterminante 2 und somit ist die matrix positiv definit oder anders


danke für die hilfe!
gibt es dort eigentlich eine möglichkeit das ganze über die dritte ableitung dann zu lösen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

wir betrachten die hessematrix:



wenn wir die determinante berechnen ist diese:

.

die bedingung, die du genannt hast (die aus deinem satz folgert) ist also die gleiche, wie die bedingung der hesse-matrix.
ist die matrix negativ definit, so heben die vorzeichen sich gegenseitig auf und man kann keine aussage über den charakter des extremums treffen.

wenn die hesse-matrix versagt, versagt auch dein kriterium.

nun zur epsilon-umgebung, schau einfach nach, ob die funktionswerte um deinen kritischen punkt kleiner bzw. größer sind als die funktionswerte des punktes.
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