Spektralsatz

17.09.2010, 16:03	et	Auf diesen Beitrag antworten »
Spektralsatz Meine Frage: Es sei V := R^{2 x 1} versehen mit dem Standardskalarprodukt q. Weiter sei für a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R die symmetrische R - Bilinearform $\begin{eqnarray} x_{a} \end{eqnarray}$ auf V gegeben durch folgende Gram-Matrix bzgl. der R - Standardbasis B $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ V: B $\begin{eqnarray} (x_{a}) \end{eqnarray}$ B := $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 2 & a \\ a & 2 \end{vmatrix} \in \mathbb R ^{2 x 2} \end{eqnarray}$ . Aufgabe: Man bestimme die Signatur von $\begin{eqnarray} x_{a} \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R. Für welche a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R ist $\begin{eqnarray} x_{a} \end{eqnarray}$ 1.) ausgeartet 2.) ein Skalarprodukt 3.) isometrisch zu q. Meine Ideen: Die Signatur habe ich bestimmt für \|a\|<2 ist die Signatur 2,0,0 für \|a\|=2 ist die Signatur 1,0,1 und für \|a\|>2 ist die Signatur 1,1,0 Was mir fehlt sind Ansätze für ausgeartet, Skalarprodukt und isometrisch. Mit den Definitionen die ich habe bzw. die ich im Internet gefunden habe komme ich nicht weiter. Ich weiß, z.B. dass 1.)q heißt ausgeartet, falls V rechts-orthogonal = \left\{ 0\right\} = V links-orthogonal. Aber wie kann ich das hier anwenden? Wäre für Tipps dankbar!
19.09.2010, 23:37	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralsatz Da die BLF symmetrisch ist, ist hier $\begin{eqnarray} V^\perp=^\perp V \end{eqnarray}$ . Letztlich musst Du nur genau die Definition untersuchen. Für 1) schau doch mal, ob es Werte $\begin{eqnarray} r,s\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ gibt, mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}r&s\end{pmatrix}\cdot B\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Da Du ja schon die Signatur hast, kannst Du oBdA $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ in der Diagonalform wählen. Das Ergebnis wird nicht sonderlich überraschend sein. Zu 2): Was ist denn der Unterschied zwischen BLF und Skalarprodukt? Was muss also untersucht werden? Gruß, Reksilat.

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