Schneiden von zwei Ebenen

17.09.2010, 17:08

suffelpuffel

Schneiden von zwei Ebenen

Meine Frage:
Ich möchte die Schnittgerade von zwei Ebenen bestimmen.
Ich habe ein Bespiel für so eine Aufgabe im Buch.

Schneiden sich die Ebenen:
$\begin{eqnarray*} E_{1}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} E_{2} : \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + u\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

???

Meine Ideen:
Lösung:
1. Um die gegenseitige Lage zu bestimmen, kann man die rechten Seiten der Gleichungen gleichsetzen.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + u\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

entspricht im LGS:
r +3s -u +2v = -2
-2r +s -u -v = 2
4s -2u -3v = 0

Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 & 2 & -2 \\ -2 & 1 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -2 & -3 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

diagonalisiert:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 7.5 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 16.5 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus folgen:
r -4v = 0
s +7.5v = -2
u +16.5v -4

Damit hat das LGS unendlich viele Lösungen. Das heißt, die Ebenen schneiden sich.
Aus u+16.5v=-4 folgt u=-4-16.5v.

So, bis zu diesem Punkt habe ich alles verstanden. smile

Doch nun soll ich dies in die E_{2} einsetzen.
Wenn ich das tue kommt bei mir aber etwas anderes raus als bei der Lösungsvorgabe im Buch.

Mein Lösungsvorschlag: $\begin{eqnarray*} E_{2} : \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + \left( -4-16.5v \right) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im Buch wird aber nun so weiter gemacht:
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -18.5 \\ -15.5 \\ -30 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw. mit v = -2t die Gleichung $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 37 \\ 31 \\ 60 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mir fehlen nun die Zwischenschritte, wie man von meinem Lösungsvorschlag weiter zu dem im Buch kommt. Ich habe schon ziemlich viel versucht, doch ich komm einfach nicht auf das Ergebnis.
Danke im voraus smile

tigerbine: latex - bitte Vorschau benutzen

17.09.2010, 17:12

Iorek

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Dein Lösungsvorschlag stimmt mit dem aus dem Buch überein, rechne doch mal weiter und fass alles zusammen Augenzwinkern

18.09.2010, 14:21

suffelpuffel

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Okay das ist schon mal gut, wenn der Ansatz stimmt.
Aber ich glaube mein Problem liegt beim zusammenfassen :/
Also ich würde nun so weiter machen:

\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + (-4-16.5v)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}

\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} (-4-16.5v)1 \\ (-4-16.5v)1 \\ (-4-16.5v)2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}

\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4-16.5v \\ -4-16.5v \\ -8-33v \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}

\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -4-16.5 \\ -4-16.5 \\ -8-33 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}

\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -20.5 \\ -20.5 \\ -41 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}

\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -20.5-2 \\ -20.5+1 \\ -41+3 \end{pmatrix}

\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -22.5 \\ -19.5 \\ -38 \end{pmatrix}

So das ist mein Ergebnis. Irgendwo muss ich einen Rechenfehler gemacht haben. Aber so oft ich das auch rechne, komme ich immer auf das gleiche Ergebnis..

18.09.2010, 14:45

Iorek

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Bitte beachte auch den Hinweis von tigerbine und setze die richtigen $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ -Tags.

Zitat:

Original von suffelpuffel
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + (-4-16.5v)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} (-4-16.5v)1 \\ (-4-16.5v)1 \\ (-4-16.5v)2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4-16.5v \\ -4-16.5v \\ -8-33v \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -4-16.5 \\ -4-16.5 \\ -8-33 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -20.5 \\ -20.5 \\ -41 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -20.5-2 \\ -20.5+1 \\ -41+3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -22.5 \\ -19.5 \\ -38 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So das ist mein Ergebnis. Irgendwo muss ich einen Rechenfehler gemacht haben. Aber so oft ich das auch rechne, komme ich immer auf das gleiche Ergebnis..

Dein Fehler liegt hier:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4-16.5v \\ -4-16.5v \\ -8-33v \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du darfst nicht direkt das $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ aus dem Vektor ziehen, es kommt schließlich nicht in beiden Summanden vor. Teil den Vektor zuerst in die Differenz zweier Vektoren auf.

18.09.2010, 14:48

wisili

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RE: Schneiden von zwei Ebenen
-- zu spät

18.09.2010, 17:00

suffelpuffel

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Oh sry mit dem Latex gar nicht gesehen. smile

Super danke nun ab ich es auch raus.
Vielen, vielen Dank. Freude

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