Extremwertprobleme mit Nebenbedingugen |
| 17.09.2010, 17:41 | Gast12345 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Extremwertprobleme mit Nebenbedingugen Eine oben offene Kiste mit quadratischer Grundfläche soll so hergetellt werden, dass bei einem Volumen von 40l die Oberfläche möglichst klein wird. Wie sind die Maße der Kiste zu wählen? Meine Ideen: Hauptbedingung: O=a^2+(4*a*b) Nebenbedingung: V=(a^2)*b; b=40/a^2 Zielfunktion: O=a^2 + (160/a) Ich komme bei der Berechnung der Extreme einfach nicht weiter... |
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| 17.09.2010, 17:57 | Danip159 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, Also zuerstmal als kleiner Hinweis: Immer Achtung bei Litern 
40L = 40dm³Somit rechnen wir hier mit dm. Wie weit kennst du dich denn mit Extremwertaufgabe aus? Welcher Schritt steht denn normalerweise an, wenn man die Zielfunktion bestimmt hat? Du möchtest ja jetzt sehen bei welchem a, die Oberfläche O minimal wird. Stichwort: Ableitung 
/edit: Hier mal dein Graph: O=a^2 + (160/a) x-Achse repräsentiert unsere Kantenlänge a. y-Achse repräsentiert die Größe der Oberfläche. D.h. alle negativen Bereiche (egal ob a oder O) interessieren uns nicht, da die hier nicht relevant sind. Es ist also nur der Quadrant rechts oben wichtig
Wenn du jetzt den kleinesten y-Wert möchtest (der entspricht ja dem kleinsten Oberflächenwert), wie bekommst du den dann? |
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| 17.09.2010, 18:10 | Gast12345 | Auf diesen Beitrag antworten » |
also erstmal hab ich die ableitungen gebildet die wären: 1. ableitung: 2a - (160*a^-2) 2. ableitung: 2+ (320*a^-3) ist das schon mal richtig? wenn ja, dann weiß ich jetzt nicht wie ich anfangen soll die 1. ableitung null zu setzen... |
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| 17.09.2010, 18:16 | Danip159 | Auf diesen Beitrag antworten » |
1. Ableitung = 0 setzen ist mal ein super anfang
Was gibt die erste Ableitung denn generell an? Und was erhält man dadurch zwangsläufig, wenn man die erste Ableitung = 0 setzt? |
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| 17.09.2010, 18:19 | Gast12345 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja nur wie ist mein problem. 
generell ist das kein problem aber die ableitung ist irgendwie umständlich.
die 1. ableitung gibt die steigung an und man erhält den x-wert. |
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| 17.09.2010, 18:23 | Danip159 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok^^ Also, die erste Ableitung gibt die Steigung in einem Punkt x an. Wenn diese Steigung 0 ist, dann hat dieser Punkt eben keine Steigen (bzw eine horizontale Tangente). Und genau so sind Extremwerte definiert. (Wir suchen hier ja einen Extremwert - den kleinsten möglichen Wert für die Oberfläche
)Also: So haben wir die erste Ableitung "Null-gesetzt". Sprich, das Ergebnis soll Null sein (weil die Steigung in unserem Extrempunkt - siehe Grafik - ja auch 0 ist). Das sollte doch auszurechnen sein?^^ /edit: nen Tipp zum rechnen: Zuerstmal jeweils eines auf eine Seite bringen und dann eben die Brüche auflösen
Schreib mal den Rechenweg auf, wie weit du kommst
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| 17.09.2010, 18:30 | Gast12345 | Auf diesen Beitrag antworten » |
also weit komme ich ehrlich gesagt nicht...:-/ 0=2a- (160/a^2) -2a -2a=-(160/a^2) *a^2 -2a*(a^2)=-160 das wars auch schon 
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| 17.09.2010, 19:06 | Danip159 | Auf diesen Beitrag antworten » |
2*a*a² = 160 (also die Minus kannst du schon mal streichen auf beiden Seiten bzw mit (-1) multiplizieren) a*a²= a³
Dann hast du: 2a³=160 a³=80 dm das ist dein a
Nun kannst du das ganze in b einsetzen und erhälst b
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| 17.09.2010, 19:16 | Gast12345 | Auf diesen Beitrag antworten » |
dankeschön.
ich hab es jetzt verstanden. :Pa= 4,31 b=2,15 |
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| 17.09.2010, 19:18 | Danip159 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau
Kp
Ich hoff das Grundprinzip ist jetzt klar für Extremwertaufgaben. Falls du noch iwelche allgemeinen Fragen zu EW-Aufgabe hast, frag ruhig^^ |
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| 17.09.2010, 19:22 | Gast12345 | Auf diesen Beitrag antworten » |
okay.
also bei mir ist oft das problem die formeln erstmal aufzustellen und die dann wie eben umzustellen...gibt es da irgendwelche tricks wie man das am besten machen kann?? |
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| 17.09.2010, 19:44 | Danip159 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja, wenns wie hier um geometrische Gebilde geht, dann wird man wohl nicht drumrum kommen, die ganzen Formeln für Würfel, Zylinder, Kugeln, etcetc... zu können oder zumindest wissen wie/wo man an sie rankommt (Formelheft
).Ich weiß jetzt nicht wie weit du schon bist mit Extremwertaufgaben. Aber da kommen dann als Nebenbedingungen noch Sachen wie der Strahlensatz oder dass zB mein "eingeschriebenes Gebilde" einen Punkt in einer Funktion hat,.. Diese paar Möglichkeiten lernt man aber in der Schule kennen und dort kommen auch nur die paar. (war zu mindest bei uns so). Also wenn ihr einen neuen Ansatz zum Lösen von EW-Aufgaben lernt, dann schau dir diesen vl genau an. Also bei mir in da Schule warens nur 3 oder 4 (und eben noch so Volumen/Oberflächen-EW-Aufgaben wie hier). So kommt man schon mal ganz gut durch^^ Ich glaub auch, dass das größte Problem ist die Haupt bzw Nebenbedingung zu finden. Alles weitere läuft dann normalerweise nach Schema F ab. Was auch noch sehr hilft ist, wenn man sich zuerst mal eine Skizze macht und sich überlegt, was wo wie hinkommt und wie es dann Schlussendlich aussehen soll. So erkennt man auch geometrische Zusammenhänge (zB Strahlensatz) viel leichter
Zum Rechnen und Umstellen. Da hilft eigentlich nur üben^^ |
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| 17.09.2010, 19:49 | Gast12345 | Auf diesen Beitrag antworten » |
okay ich werde wohl noch ein paar dieser aufgaben rechnen. :P und dankeschön für die schnellen und verständlichen antworten.
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| 17.09.2010, 19:51 | Danip159 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jo! Was für mich imma wichtig ist, einen schönen Überblick zubehalten und die gesamte Struktur zu erkennen. Also warum geht eine EW-Aufgabe genau nach diesem Schema F? Was für "Typen" von EW-Aufgaben kenn ich? usw.. mfg
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