Formale Potenzreihen

17.09.2010, 18:29	le	Auf diesen Beitrag antworten »
Formale Potenzreihen Hallo, ich schaue mir gerade in Diskrete Mathematik formale Potenzreihen und erzeugende Funktionen an. Aber diese "formale Identität" verstehe ich einfach nicht. Wenn mein ein konkretes x einsetzt muss sie dann ja nicht stimmen, oder? ZUm Beispiel die erzeugende Funktion der Fibonacci-Folge: http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge Wenn ich da dann versuche ein konkretes fn auszurechnen, kommt nicht das richtige Ergebnis raus. Bedeutet in diesem Falle das "=" etwas anderes als sonst?? Ich steh auf dem Schlauch...
17.09.2010, 20:20	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Formale Potenzreihen Hallo! Hast du den Konvergenzradius der Potenzreihe berücksichtigt? Du kannst dein Vorgehen ja einmal zwecks genauerem Verständnis vorführen. Grüße Abakus
20.09.2010, 10:51	le	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Formale Potenzreihen Hallo, danke für die Antwort. Mir ist grundsätzlich klar, dass die Potenzreihen nur in einem bestimmten Konvergenzradius den Wert der Reihe annehmen. Ich habe mich oben also falsch ausgedrückt: Mir ist klar, warum ich nicht das richtige Ergebnis bekomme, wenn ich in die Potenzreihe ein beliebiges x (bzw. bei Wiki z) einsetzte. Allerdings ist mir nicht klar, wieso ich dann über den Koeffizientenvergleich zu der Aussage $\begin{eqnarray} fn=\sum\limits_{k=0}^n \frac{(n-k)!}{k!(n-2k)!} \end{eqnarray}$ kommen "darf". Das stimmt ja nicht unbedingt. In der Vorlesung haben wir die "Formalität" der Reihen so ausgedrückt: Erst das Beispiel: Sei a = (1, 1, 1, 1, . . .) die konstante Folge 1. Dann gilt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty 1x^{k}= \frac{1}{1-x} \end{eqnarray}$ ALs Erklärung steht dann da: "Diese Identität ist formaler Natur. Konvergenzüberlegungen werden dabei nicht berücksichtigt." (Häh, warum darf man das?? Das stimmt doch garnicht, dass die beiden Ausdrücke unabhängig vom Konvergenzradius gleich sind) Weiter gehts so: "Die oben genannte Gleichheit beruht auf der multiplikativen Inversität: $\begin{eqnarray} (1-v)\sum\limits_{k=0}^\infty 1x^{k}= 1 \end{eqnarray*}$ " Hm, darf man das denn, da dann einfach im Unendlichen immer wieder Teile miteinander verrechnen? Da gab es doch auch mal den (falschen) "Beweis", dass 1=0 ist. Da durfte man doch auch nicht einfach beliebig umklammern? Vielleicht versteht ihr mein Problem jetzt eher. Ich weiß diese Objekte einfach nicht zu handhaben, weil ich die Gleichheit nicht verstehe. In Analysis habe ich doch lang und breit gelernt, warum die Gleichheit im allgemeinen eben NICHT gilt. Kann mir dabei jemand helfen?
20.09.2010, 16:44	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Formale Potenzreihen sind ein algebraisches Konstrukt, welches natürlich den normalen Potenzreihen nachempfunden ist, aber man darf sie keinesfalls als das gleiche wie normale Potenzreihen (welche Grenzwerte von Funktionenreihen sind) ansehen. z.B. macht es noch nicth einmal Sinn, in diesem Zusammenhang über Konvergenz zu reden. Die formale Potenzreihe $\begin{eqnarray} \sum a_k X^k \end{eqnarray}$ ist bloss eine alternative Darstellung der Folge $\begin{eqnarray} (a_0, a_1, ...) \end{eqnarray}$ . Und auf der Menge aller Folgen definiert man nun eine Addition durch komponentenweise addieren und eine Multiplikation durch Konvolution. Damit wird diese Menge zu einem Ring. Die X stehen dabei nicht für Zahlen, sondern sie machen es bloss leichter, die Konvolution zu verstehen (die Notation ist halt auch hier sehr schön gewählt). Zu deinem Beispiel. $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-X} \end{eqnarray}$ steht in diesem Zusammenhang nicht für die reelle Funktion, sondern lediglich für das (algebraische) multiplikative Inverse von der formalen Potenzreihe $\begin{eqnarray} 1-X = (1, -1, 0, 0, 0, \ldots) \end{eqnarray}$ Falls ich dich jetzt eher verwirrt habe: Schau mal hier

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