Beweis Bernoullische Ungleichung mittles vollständiger Induktion
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17.09.2010, 23:43 xparet0209 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Bernoullische Ungleichung mittles vollständiger Induktion
Die Bernoullische Ungleichung lautet ja folgerndermaßen:
(1+x)^n > 1+nx
für jede <a linkindex="10" title="Reelle Zahl" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl">reelle Zahl[/url] x >= &#8722; 1 und x != 0 und jede nicht negative <a linkindex="12" title="Ganze Zahl" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Ganze_Zahl">ganze Zahl[/url] n >= 0.

also habe ich folgenden Induktionsbeweis:

Induktionsanfang für n = 2:
(1+x)^2 > 1+2x
<=> 1+2x+x^2 > 1+2x
<=> x^2 > 0 (w)

Induktionsvoraussetzung:
(1+x)^(n+1) > 1+(n+1)x
<=> (1+x)^n * (1+a) > 1+nx+x
<=> (1+nx)*(1+x) > 1+nx+x
<= 1+nx+a+nx^2 > 1+nx+x
<=> nx^2 > 0 (w)

doch bei diesem beweis würde es ja für alle x außer 0 gelten.
Ich finde jedoch nicht den Fehlerverwirrt
könnt ihr mir da vllt auf die sprünge helfen?
18.09.2010, 15:26 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Bernoullische Ungleichung mittles vollständiger Induktion
Zitat:
Original von xparet0209
Induktionsvoraussetzung:
(1+x)^(n+1) > 1+(n+1)x

Erstmal sind in dem Beweis ein paar formale Schwächen. Obiges ist nicht die Induktionsvoraussetzung, sondern die im Induktionsschritt zu zeigende Aussage.

Zitat:
Original von xparet0209
(1+x)^n * (1+a) > 1+nx+x
<=> (1+nx)*(1+x) > 1+nx+x

Hier gilt nicht die Äquivalenz, sondern die Richtung <== . Richtig ist also:



Außerdem ist an dieser Stelle die Bedingung 1+x > 0 wichtig, da die Implikation a > b ==> a*c > b*c nur gilt, wenn c > 0 ist.
18.09.2010, 23:43 xparet0209 Auf diesen Beitrag antworten »

oh tut mir leid wegen der vielen fehler Hammer
gestern abend war es doch ein wenig spät
nja ich hab mich ein paar mal verschrieben
also nochmal:

(1+x)^n > 1+nx
für jede reelle Zah x >= 1 und x != 0 und jede nicht negative ganze Zah n >= 0.


Induktionsanfang für n = 2:
(1+x)^2 > 1+2x
<=> 1+2x+x^2 > 1+2x
<=> x^2 > 0 (w)

Induktionsvoraussetzung:
(1+x)^n > 1+nx

Induktionsbehauptung:
(1+x)^(n+1) > 1+(n+1)x
<=> (1+x)^n * (1+x) > 1+nx+x (einmal 1+x ausgeklammert)
<= (1+nx)*(1+x) > 1+nx+x (Induktionsvoraussetzung für (1+x)^n eingesetzt)
<=> 1+nx+a+nx^2 > 1+nx+x
<=> nx^2 > 0 (w)


die sache, dass x+1 >0 sein muss ist natürlich wichtig
aber warum darf man denn nicht einfach x+1 ausklammern?
oder wird das x+1 >0 erst relevant, wenn man die induktionsvoraussetzung einsetzt?
19.09.2010, 11:21 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xparet0209
(1+x)^n > 1+nx
für jede reelle Zah x >= 1 und x != 0 und jede nicht negative ganze Zah n >= 0.

Wenn x >= 1 ist, ist x != 0 sowieso erfüllt. Vermutlich meinst du x >= -1.
Desweiteren gilt die Ungleichung nicht für n=0 und n=1.

Zitat:
Original von xparet0209
(1+x)^(n+1) > 1+(n+1)x
<=> (1+x)^n * (1+x) > 1+nx+x (einmal 1+x ausgeklammert)

Hier wird kein 1+x ausgeklammert, sondern links eine Potenzregel angewendet und rechts ein x ausgeklammert.

Zitat:
Original von xparet0209
<=> 1+nx+a+nx^2 > 1+nx+x

Wie schon in deinem vorigen Beitrag taucht auf geheimnisvolle Weise ein a auf.

Zitat:
Original von xparet0209
aber warum darf man denn nicht einfach x+1 ausklammern?

Ausklammern darf man das immer.

Zitat:
Original von xparet0209
oder wird das x+1 >0 erst relevant, wenn man die induktionsvoraussetzung einsetzt?

Genau. Du hast ein Produkt, in dem du einen Faktor durch einen größeren ersetzt. Das Produkt wird dadurch nur dann größer, wenn dabei der andere Faktor (also das 1+x) positiv ist.

Beachte bei deinem Beweis, daß er eigentlich rückwärts zu lesen ist, denn wenn man keine Äquivalenzumformungen macht, fängt man üblicherweise mit einer wahren Aussage an und folgert daraus die zu zeigende Aussage.
19.09.2010, 12:03 xparet0209 Auf diesen Beitrag antworten »

ok Big Laugh dann hab ich das jetzt verstanden
danke smile


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