Geradenschar bestimmen

18.09.2010, 15:25

NYJUSTUS

Geradenschar bestimmen

Meine Frage:
Hallo,
ich rechne gerade ein Übungsaufgabe für eine Klausur in der Jgst. 13 und komme absolut nicht weiter.
Folgende Aufgabenstellung:
Die Gerade $\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ liege in der Ebene $\begin{eqnarray*} E_t \end{eqnarray*}$ , stehe senkrecht auf der Gerade g und verlaufe durch den Punkt P ( -2 / 0 / 1).
Ermittle eine Parametergleichung von $\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} E_t \end{eqnarray*}$ : (t+1) $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ +(t-1) $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ =-t-3

g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} : \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + r* \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee wäre aus den 3 Bedingungen ein Gleichungssystem zu formen, jedoch weiß ich nicht genau, wie ich die Bedingungen in Gleichungen "übersetzen" soll.

Die Gerade $\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ liege in der Ebene $\begin{eqnarray*} E_t \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_t \end{eqnarray*}$ müssen mindestens 2 gemeinsame Punkte haben, oder die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} E_t \end{eqnarray*}$ hat unendlich viele Lösungen.

Die Aufstellung dieser Gleichung macht mir eigentlich die meisten Probleme.

Die 2. Bedingung ( stehe senkrecht auf der Gerade g ) müsste dadurch erfüllt werden, dass das Skalarprodukt produkt zwischen Richtungsvektor von g und Richtungsvektor von $\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ null ergibt: U-Vektor sei Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ und V-Vektor sei Richtungsvektor von g

U-Vektor * V-Vektor = 0

3. Bedingung wäre für mich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$

Ich wäre euch wirklich sehr dankbar, wenn ihr mir behilflich sein könntet, denn ich schreibe nächste Woche Klausur.
Viele Grüße und vielen Dank,
Justus

18.09.2010, 17:38

Gualtiero

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RE: Geradenschar bestimmen

Zitat:

Original von NYJUSTUS
Die 2. Bedingung ( stehe senkrecht auf der Gerade g ) müsste dadurch erfüllt werden, dass das Skalarprodukt produkt zwischen Richtungsvektor von g und Richtungsvektor von $\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ null ergibt: U-Vektor sei Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ und V-Vektor sei Richtungsvektor von g

U-Vektor * V-Vektor = 0

Das ergibt aber unendlich viele Lösungen. Der Richtungsvektor Deiner neuen Geraden soll aber auch parallel zur Ebene liegen.
Eine Möglichkeit wäre das Vektorprodukt. Weißt Du, wie ich meine?

18.09.2010, 18:11

NYJUSTUS

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RE: Geradenschar bestimmen
Ja, von dem Vektorprodult (Kreuzprodukt) habe ich schonmal gehört, darf ich aber leider nicht anwenden.
Gibt es andere Möglichkeiten?
Vielen Dank für deine schnelle Antwort!

18.09.2010, 18:27

Gualtiero

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RE: Geradenschar bestimmen
Hmm, ohne Kreuzprodukt fällt mir im Moment keine andere Möglichkeit ein.
Ich schaue es mir an.

Ansonsten ist natürlich jeder andere Helfer willkommen.

19.09.2010, 01:43

NYJUSTUS

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RE: Geradenschar bestimmen
das wäre sehr nett smile

19.09.2010, 02:08

Iorek

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Aufgrund der Uhrzeit noch nicht vollständig durchdacht, aber vllt. führt das zum Ziel:

Für alle $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ liegt der Punkt P in der Ebene, bringen wir die Ebene in die Normalenform so erhalten wir als Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec n = \begin{pmatrix} t+1 \\ 1 \\ t-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wenn ich das richtig sehe, lässt sich damit eine Ebene bestimmen, sodass der Winkel zwischen der Ebene und der Gerade 90° ergibt.

Edit: Wobei mir gerade einfällt, dass dann die Ebenenschar ja überflüssig wäre; Konstruktion eines Vektors $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ für den das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor der Geraden 0 ergibt, sollte es dann ja tun, schließlich ist ja nicht nach der Ebenengleichung gefragt, oder?

19.09.2010, 03:27

Bjoern1982

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Zitat:

verlaufe durch den Punkt P ( -2 / 0 / 1).

Damit hast du schonmal deinen Stützvektor für h und glücklicherweise liegt er auch in jeder Ebene der gegebenen Schar, was dann schonmal direkt echte Parallelität unmöglich macht und somit schonmal wunderbar passt.

Man braucht jetzt also nur noch einen von t abhängigen Richungsvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Zur Erinnerung: Zwei Vektoren stehen senkrecht zueinander wenn ihr Skalarprodukt null ergibt.

Zitat:

Die Gerade $\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ liege in der Ebene $\begin{eqnarray*} E_t \end{eqnarray*}$

Damit muss (t+1)x+y+(t-1)z=0 gelten

Zitat:

stehe senkrecht auf der Gerade g

Damit muss x-2y-z=0 gelten

Daraus lässt sich dann ein entsprechender von t abhängiger Richtungsvektor basteln.

19.09.2010, 12:43

NYJUSTUS

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vielen Dank für die zahlreichen Antworten. Leider steige ich nicht ganz durch. Habe mir aus den Tipps folgende Gerade $\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ zusammengezimmert:

$\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r* \begin{pmatrix} t+1 \\ 1 \\ t-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

habe aber leider auch Probleme bei der Überprüfung des Ergebnisses. Ist es richtig?
Und falls nicht, könnte mir vielleicht jemand das richtige Ergebnis nennen, um die Aufgabe vielleicht "rückwärts" zu verstehen?
Danke!

19.09.2010, 18:07

riwe

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Zitat:

Original von NYJUSTUS
vielen Dank für die zahlreichen Antworten. Leider steige ich nicht ganz durch. Habe mir aus den Tipps folgende Gerade $\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ zusammengezimmert:

$\begin{eqnarray*} h_t \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r* \begin{pmatrix} t+1 \\ 1 \\ t-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

habe aber leider auch Probleme bei der Überprüfung des Ergebnisses. Ist es richtig?
Und falls nicht, könnte mir vielleicht jemand das richtige Ergebnis nennen, um die Aufgabe vielleicht "rückwärts" zu verstehen?
Danke!

möglicherweise hast du dich vertippt, es könnte auch heißen:

$\begin{eqnarray*} h_t:\quad\vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r* \begin{pmatrix} t+1 \\ t \\ t-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

setze zur kontrolle in E ein bzw. bilde die entsprechenden skalarprodukte Augenzwinkern

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