approximation und Schätzfunktionen

18.09.2010, 21:20	student8	Auf diesen Beitrag antworten »
approximation und Schätzfunktionen Meine Frage: hi alle zusammen, ich hatte letztens eine Vorlesung und habe mir etwas abgeschrieben, was für mich keinen sinn macht. Ich habe kurz auf einem Blatt zusammengefasst was gemacht wurde. Es hier mit dem Computer aufschreiben wäre zu schwierig darum habe ich es handschriftlich gemacht. Ich hoffe es stört euch nicht und ihr könnt es lesen, wenn nicht bescheid sagen. Fragen stehen auf dem Blatt Meine Ideen: ich habe meine eigenen Idee jeweils neben der Frage geschrieben
18.09.2010, 23:03	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die o.g. Binomialverteilung der Größe $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ approximiert werden soll, dann würde man wegen $\begin{eqnarray} \mu = np \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma^2 = npq \end{eqnarray}$ zunächst mal kommen auf $\begin{eqnarray} X \sim N \left( n \pi , n \pi (1-\pi) \right) \end{eqnarray}$ . Jetzt steht im nächsten Absatz "eine" Zufallsvariable. Nicht "die" Zufallsvariable... Finde ich sehr verwirrend. Es müsste nämlich genau "die" Zufallsvariable aus dem ersten Absatz sein, denn je nachdem, wie sie realisiert wird, setzt man gemäß der Maximum Likelihood Schätzung an. Jedenfalls ist bei dir nicht die genährte Verteilung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gegeben, sondern die von $\begin{eqnarray} \overline{X}:=\frac{X}{n} \end{eqnarray}$ und zwar mit $\begin{eqnarray} \overline{X} \sim N \left(\pi , \frac{\pi (1- \pi)}{n} \right) \end{eqnarray}$ . Ich kann es zwar (noch) nicht ganz nachvollziehen, aber offenbar wurde wie folgt substituiert: $\begin{eqnarray} X \mathrel{\widehat{=}} \overline{X} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu : n \pi \mathrel{\widehat{=}} \pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma^2 : n \pi (1 - \pi) \mathrel{\widehat{=}} \pi (1-\pi) \end{eqnarray}$ . Rührt offenbar daher, dass $\begin{eqnarray} \sigma = \sqrt{n \pi (1-\pi)} \end{eqnarray}$ , wie $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ auch durch $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ geteilt wurde: $\begin{eqnarray} \sqrt{n \pi (1- \pi)} \mathrel{\widehat{=}} \frac{\sqrt{\pi (1- \pi)}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ . Bei der Bildung der Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ verschwindet dann die Wurzel. Verwirrend ist das vor allem, wenn man naiv den fiktiven Dimensions-Check macht: $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ dürfte man theoretisch auch in "Äpfeln" zählen. Die gleiche Dimension hat die Standardabweichung. Bei der Herleitung der SD der Normalverteilung wird aber elegant diese Information verschluckt (hat als Dimension nämlich "Wurzel aus Apfel", setzt man naiv die Dimension allein in $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ an), daher dachte ich zunächst es sei ein Fehler in deiner Angabe und das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ müsste aus dem Nenner verschwinden. Dem ist aber nicht so und die Ursache steckt in der Herleitung der SD der Normalverteilung. Trotzdem erklärt dieser Dimensionsansatz schonmal direkt, warum deine letzte Frage unter 1) daneben geht und beantwortet die erste Frage mit einem dicken: Ja, hier steht wirklich und berechtigter Weise ein $\begin{eqnarray} \overline{X} \end{eqnarray}$ . Und ja, offenbar wird damit der Maximum-Likelihood-Schätzer approximiert, unterstellt man mal, dass das $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ nicht "eine" Zufallsvariable ist, sondern eben "die" binomialverteilte Zufallsvariable aus dem ersten Absatz. Und zu 2) Warum die (Normal-)verteilung von $\begin{eqnarray} \frac{X}{n} \end{eqnarray}$ den Parameter $\begin{eqnarray} \mu = \pi = n \pi \cdot \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ kannst du ja mal herleiten. Es ist ja der Erwartungswert der Zufallsgröße $\begin{eqnarray} \frac{X}{n} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} X \sim N\left(n \pi , n \pi (1-\pi) \right) \end{eqnarray}$ gilt...
19.09.2010, 13:51	student8	Auf diesen Beitrag antworten »
könnte man die ganze geschichte vielleicht so interpretieren, also weshalb X durch X-quer ausgetauscht wurde: Ich habe ne Maschine die Reißnägel herstellt, aber ich weiss nicht wie groß die Ausschußquote ist also pi . Ich ziehe ein paar Stichproben und schätze mit der Maximum Likelihood Methode dieses pi, wobei sich X/n = X-quer = "der Stichprobenmittel" als beste approximation entpuppt. Weil ich vorhabe noch viele weiter Stichproben durchzuführen approximiere ich einfach die Binomialverteilung durch die Normalverteilung und schaue wie die Stichprobenmittel(also im enddefekt pi, da pi = X-quer approximiert wurde) für große Stichproben verteilt sind ?

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