warum funzt vollst. Induktion? |
| 19.09.2010, 17:39 | Gast555 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| warum funzt vollst. Induktion? Mir ist nicht ganz klar, warum die vollst. Induktion funktioniert...Warum kann ich eine allgemeingültige Aussage aus A(n+1) schließen wenn A(n) wahr ist.. Mein Lehrer meinte was von Piano axiom... Meine Ideen: keine |
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| 19.09.2010, 17:47 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Piano Axiome hat man höchstens in der Musik, dein Lehrer meint die Peano-Axiome 
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| 19.09.2010, 17:50 | gast555 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
achso... Also Axiom ansich bedeutet einfach, das man das so willkürlich festgelegt hat? |
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| 19.09.2010, 17:54 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich würde nicht sagen, dass die Axiome die es gibt, irgendjemand irgendwann willkürlich festgelegt hat. Vereinfacht würde ich es als ursprünglichen, unbeweisbaren Satz bezeichnen. |
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| 20.09.2010, 02:29 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: warum funzt vollst. Induktion?
Das ist, glaube ich, die falsche Ausdrucksweise. Du kannst aus A(n+1) nichts schließen! Wenn A(n) wahr ist UND außerdem A(n+1), DANN kannst du darauf schließen, daß es für alle A(n) gilt. Denn wenn es für zwei aufeinanderfolgende Fälle gilt, dann auch für alle weiteren, denn ich kann das Alte A(n+1) ja als Neues A(n) definieren und dann für das A(n+2) dasselbe beweisen, wie vorher für das Alte A(n+1). Somit kann man das solange machen, wie man möchte bzw. auch ohne weiteres Ausprobieren unendlich oft. Das ist, denke ich, die Kernidee hinter dem Ganzen. |
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| 20.09.2010, 02:41 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ein Induktionsanfang wäre auch ganz nett. Sonst könnte man sowas wie mittels vollständiger Induktion beweisen... Es nützt nichts Dominosteine schön aufzureihen, wenn man vergisst den ersten umzustoßen. |
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| 20.09.2010, 02:48 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wir sind in der Schulmathematik - wollen wir nicht bei simplen Methoden bleiben? Wie cugu feststellete: Wichtig ist der Induktionsanfang! Warum es funktioniert? Stell' dir mal eine Dominokette vor. Wenn du weißt, dass du den ersten Stein umkippst, und wenn du weißt, dass mit jedem kippenden Stein auch der folgende kippt ... dann weißt du, dass alle Steine kippen. Das Ganze ist einfach eine "Kette". Du weißt, dass die Aussage für n=1 wahr ist und du weißt, dass sie für n+1 wahr ist, sobald sie für n wahr ist. Dann folgt: n=1 wahr, also für n+1=2 wahr. Dann auch für 2+1=3 wahr. usw. air |
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| 20.09.2010, 08:35 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dieses Argument gefällt mir nicht, auch nicht mit dem Verweis auf Schulmathematik. Das Induktionsprinzip kann nicht aus den allgemeinen Regeln der Logik gefolgert werden. Dann müsste man es ja nicht als Axiom formulieren. Und so plausibel, wie es manchmal erscheinen mag, ist es auch nicht. Wenn mit jedem kippenden Stein auch der nächste kippt, dann weißt du, dass alle Steine kippen? Das gilt für eine endliche Kette. Bei einer unendlichen Kette weiß ich deshalb noch rein gar nichts. Man kann das Argument dort auch umdrehen. Auch wenn mit jedem Stein der nächste fällt, so sind doch nie alle gefallen. Die Kette ist ja schließlich unendlich lang. Es mögen noch so viele Steine fallen, es sind immer noch welche da, die bisher nicht gefallen sind. Und wenn auch die gefallen sind, sind noch immer welche da, die nicht gefallen sind. Und ... Das Induktionsprinzip ist und bleibt ein Axiom. |
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| 20.09.2010, 10:43 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@Huggy: Gegen deine Argumentation spricht der folgende Satz: Es gibt genau dann eine Menge N, die die Peano-Axiome erfüllt, wenn es eine unendlich Menge gibt. D.h. schon aus der Existenz einer unendlichen Menge lässt sich die Existenz der natürlichen Zahlen und damit auch das Induktionsprinzip zeigen. Klar könnte man jetzt sagen, es bedarf wieder eines Axioms um die Existenz uendlicher Mengen zu sichern (in welchem übrigens der Begriff "induktive Menge" schon vorkommt), allerdings ist es klar, dass man irgendwo mal mit Axiomen anfangen muss. Und ich wollte nur deutlich machen, dass man nicht beim Induktionsprinzip anfangen muss. |
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| 20.09.2010, 12:45 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da stimme ich ohne wenn und aber zu. Es gibt ja praktisch immer verschiedene Möglichkeiten, bestimmte Strukturen axiomatisch zu beschreiben. Auch in der euklidischen Geometrie kann das Parallelenaxiom durch andere Axiome ersetzt werden. Mein Problem ist, wie soll man eine Frage aus dem Schulbereich nach der Rechtfertigung des Prinzips der vollständigen Induktion beantworten? Wenn man versucht, es möglichst plausibel erscheinen zu lassen, wird der falsche Eindruck erweckt, es sei ein aus den allgemeinen Gesetzen der Logik ableitbares Prinzip. Versteift man sich auf die Axiomatik, stiftet das vielleicht mehr Verwirrung als Aufklärung. Ich neige trotzdem zu dem letzteren. Aber es gibt sicher Boardmitglieder mit Erfahrungen zur Didaktik im Schulbereich, die das besser beurteilen können. |
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| 20.09.2010, 12:52 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@ Huggy Allerdings scheitert dein Einwand v.a. an einer Schwäche des Beispiels: Der physikalische Vorgang benötigt Zeit, die logische Schlussfolgerung per se jedoch nicht. Ich verstehe allerdings deinen Punkt. Persönlich finde ich das Beispiel dennoch sehr gut. Es zeigt sehr gut, wie das Prinzip der VI funktioniert, auch wenn es ggf. nicht genau klären kann, warum so eine Schlussfolgerung überhaupt möglich ist. Einem Schüler, der scheinbar noch nichtmal das "wie" verstanden hat, dies erklären zu wollen, halte ich allerdings für relativ aussichtslos. Und selbst dann fehlt dem Schüler doch etwas die Grundlage für solche Dinge, und die Denkweise. Mehr als ein "Beweis durch überzeugende Authorität" kann ich mir da im ersten Moment nicht vorstellen, und viel wert wäre der eben nicht. Allerdings - wer mag, der darf ja durchaus tiefergehende Erklärungen bringen. Ich spare sie mir lieber aus o.g. Gründen. 
air |
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| 20.09.2010, 22:54 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ist es das denn nicht? Der Übergang von n zu n+1 ist doch quasi eine Ursache-Wirkungsbeziehung (ok, man muß vielleicht axiomatisch annehmen, daß es sowas zuerst einmal gibt). Der Übergang von n+1 zu n+2 usw. ist dann doch reine Logik, weil jeder Nachfolger selbst wieder ein Vorläufer ist. Natürlich ist es eine Frage, ob das so streng mathematisch bewiesen ist, wie 1+1=2 nach Russell und Whitehead, aber in der Schule kommt es meines Erachtens mehr darauf an, die "Essenz" einer Idee, oder die Idee "an sich" zu verstehen. Nicht so sehr auf mathematische Strenge in allen Details (ich hör jetzt schon den Aufschrei von eingefleischten Puristen 
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| 21.09.2010, 09:04 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein ist es nicht! Und so etwas wie beweisbar, aber nur ein wenig weniger streng, gibt es nicht. Wenn die Meinung vorherrscht, einem Schüler könne man das Prinzip der vollständigen Induktion nur über Plausibilität näher bringen, will ich nicht opponieren. Ich habe keine Erfahrung als Lehrer. So richtig einleuchten will es mir nicht. Man kann dem Schüler zeigen, dass das Induktionsprinzip bei einer endlichen Menge nach einer endlichen Menge logischer Schlüsse den Beweis für die gesamte Menge ergibt. Je größer die Menge wird, desto mühsamer ist es nur, die Schlüsse alle aufzuschreiben. Und das, was für endliche Mengen gilt, wird als Axiom auf unendliche Mengen übertragen. Punktum. Wenn die Meinung durchschimmert, das Prinzip der vollständigen Induktion sei so plausibel, dass das einem Fastbeweis - was immer das sein möge - gleichkomme, dann möchte ich auf die unendlichen Reihen verweisen. Bei jeder endlichen Reihe lassen sich die Summanden beliebig umordnen. Und weil das bei einer Reihe mit n Summanden, gilt es auch bei einer Reihe mit n + 1 Summanden. Und deswegen ist das so fürchterlich plausibel, dass das auch bei der unendlichen Reihe gilt, dass es quasi einem Beweis gleichkommt? Häh? Grübel, grübel? War da nicht etwas, dass das bei unendlichen Reihe nicht gilt, jedenfalls nicht generell. |
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| 21.09.2010, 10:30 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@ Huggy Wie wäre es denn mit dem Mittelweg, der hier nun eh auftrat: Man kann es gut plausibel machen, merkt aber an, dass eigentlich mehr dahintersteht. Sollte ein Schüler daran interessiert sein, so kann man ja auf tiefergehende Erklärungen zurückgreifen bzw. verweisen (erfordert dann aber eben etwas Mühe, sich als Schüler damit auseinanderzusetzen). air |
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| 21.09.2010, 10:42 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das erscheint mir sehr vernünftig! So wird jedenfalls für die interessierteren Schüler deutlich, dass der Schritt vom Endlichen ins Unendliche sich nicht allein auf Plausibilität gründen lässt. |
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| 21.09.2010, 12:09 | Nashsright | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Entschuldigt bitte, falls ich Unfug reden sollte, bin nur ein interessierter nicht-mehr-Schüler/bald Student und kenne die Peano-Axiome nur von wiki. So wie sie dort formuliert sind, sollten sie für die meisten doch verständlich sein (auch wenn wahrscheinlich mehr dahinter steckt - kann dazu aber wie gesagt nichts sagen). Außerdem sind sie, wenn ich das richtig verstanden habe, mit Prädikatenlogik erklärbar(und somit auch unmittelbar plausibel?). Deswegen fände ich es besser, die vollständige Induktion ausreichend zu erklären oder ganz wegzulassen. Ein Verweis darauf, dass da mehr dahinter steckt, würde doch nur vermitteln, dass die meisten die wahren Hintergründe sowieso nicht verstehen würden, was das ganze ziemlich uninteressant macht. |
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| 21.09.2010, 12:29 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Probiers doch einfach mal aus. Erkläre es ein paar Schülern. Viel Erfolg und sag uns wie es gelaufen ist. 
Schüler: Prädika- ... was? air |
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| 21.09.2010, 12:51 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also komplizierter als auf Wiki kann man das Prinzip der vollständigen Induktion kaum beschreiben
Da müsstest du wirklich viele Schulen besuchen, bis du jemand findest, der das verständlich findet bzw. in der Lage ist, sich zu überlegen, dass dieses Axiom gerade die vollständige Induktion beschreibt, die dem Schüler in der in der Schule üblichen Art und Weise nähergebracht wurde.
Hmm ich sehe es genau umgekehrt. Ein Sachverhalt, der so einfach ist, dass man ihn in der Schule komplett durchleuchten kann, muss ungeheuer uninteressant sein. Gerade das Gefühl, dass der Schüler spürt, dass da deutlich mehr dahinter steckt, was für ihn zu diesem Zeitpunkt noch schwer zu verstehen ist, weckt doch gerade erst das Interesse und die Motivation. Vorrausgesetzt der Schüler ist von vorne herein etwas interessiert. |
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| 21.09.2010, 12:53 | Nashsright | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
air: Kanns leider nicht probieren, da ich mich selbst kaum auskenne. Vor allem meinte ich aber, dass, wenn das ganze zu kompliziert ist um es ausreichend zu erklären, ganz darauf verzichtet werden sollte. (Ich z.B. hatte die vollständige Induktion gar nicht in der Schule). /edit: natürlich motiviert es zu wissen, dass mehr dahinter steckt(zwar auch nicht alle, aber grundsätzllich ja), aber sicher nicht wenn einem mehr oder weniger eingetrichert wird, dass die meisten dafür zu blöd sind. |
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| 21.09.2010, 12:55 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Mit dieser Argumentation wird das gesamte Schulfach "Mathematik" hinfällig, ebenso wie jedes andere Fach. Nur, weil man nicht alles in aller Tiefe korrekt erklären kann, ist es noch lange nicht falsch, es in vereinfachter Version im Unterricht zu haben. air |
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| 21.09.2010, 12:57 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich sehe schon wie sich die Schüler mit Maß- und Integrationstheorie beschäftigen um die Stochastik exakt zu fundieren
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| 21.09.2010, 12:59 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich hatte sie auch nicht. Aber das führt letztendlich zu einer Grundsatzdiskussion. Aber die Meinung, dass man Sachen, die zu kompliziert sind, um sie ausreichend zu erklären, ganz weglassen sollte, kann ich nicht ganz teilen. Man schaue z.b. mal in die Chemie. Da steht im LK auch das Orbitalmodell auf dem Lehrplan. Ich glaube nicht, dass man Schülern wirklich viel von Quantenphysik etc. erzählen kann, aber trotzdem kann man das Orbitalmodell aus der Schule benutzen um Phänomene zu erklären, die mit dem klassischen Atomodell nicht zu erklären sind. Und die Schüler können das dann auch nachvollziehen oder sich sogar selbst überlegen, obwohl sie von den Hintegründen eigentlich nichts verstehen, aber ihnen ein paar Fakten dieser Theorie genannt werden. Genauso könnte man bei der Vollständigen Induktion argumentieren. Warum es funktioniert, lässt sich plausibel erklären (sogar mit einer schönen Metapher über die Dominosteine) und der Nutzen für die Schüler ist, dass man viele Aussagen beweisen kann. Völlig egal, ob irgendjemand in der Lage ist, die Axiomatik dahinter zu verstehen. @Mazze: Auch ein passendes Beispiel
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| 21.09.2010, 12:59 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
"So liebe Kinder. Heute ist euer allererster Schultag! Fangen wir an mit abelschen Gruppen."
air |
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| 21.09.2010, 12:59 | Nashsright | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da stimm ich zu. Mich stört eher, dass jemanden gesagt werden muss, was er jetzt wissen kann und was nicht. Gerade das Dominoprinzip bei der vollständigen Induktion leuchtet doch sehr schnell ein. Wenn man jetzt jemanden sagt, dass das dann eigentlich doch nicht einleuchtend ist, kann das doch nicht gut sein. /edit: zu meinem vorherigen posts: hab mich wohl sehr unglücklich ausgedrückt. hab das alles konkret auf die VI bezogen mit dem genauen erklären. |
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| 21.09.2010, 13:03 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dass es einleuchtet bestreitet aber doch keiner. Es geht nur darum, dass das Prinzip der Induktion nunmal nicht so einfach ist, wie es die Domino-Metapher suggeriert. Diese suggeriert nämlich, es sei ein unmittelbar logisches Prinzip. Mathematisch steckt da aber mehr dahinter, denn immerhin spricht man von Unendlichkeiten. Und was ist schlimm daran, jemandem zu sagen, dass es zu schwer für ihn ist? Sicher gibt es Ausnahmen - aber eben wenige. Ich diskriminiere doch keinen 11.-Klässler, wenn ich ihm sage, dass er mit mathematischer Axiomatik wohl nicht viel anfangen könnte. Wenn ich jetzt vom Thema abkommen wollen würde, dann würde ich diese Haltung direkt auf ein Problem im Schulsystem übertragen. Aber lassen wirs. 
air |
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| 21.09.2010, 13:30 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So einfach die Frage des Fragestellers auch klingen mag, es ist schwer, sie zu beantworten. Vielleicht ist es unmöglich, sie zu beantworten. Das Prinzip der vollständigen Induktion markiert den Schritt in der Mathematik vom Endlichen zum Unendlichen. Ohne diesen Schritt gibt es keine wirkliche Mathematik. Aus diesem Schritt resultieren alle Probleme der Mathematik, wie die Gödelschen Unvollständigkeitsbeweise. Es ist sicher verkehrt, einem Schüler zu sagen, das ist plausibel, also ist es richtig. Es ist sicher auch verkehrt, einem Schüler zu sagen, das kannst du noch nicht verstehen, friss oder stirb. Was also stört dich an dem Vorschlag von Airblader, dabei auf das Verständnisniveau der Schüler individuell einzugehen, so weit das in Praxis machbar ist. Es gibt da so einen Spruch aus der Physik, wer behauptet, die Quantenmechanik verstanden zu haben, der hat sie nicht verstanden. Das kann man aus meiner Sicht auf die Problematik des Unendlichen in der Mathematik übertragen. |
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| 21.09.2010, 13:44 | Nashsright | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Zu sagen, die Metapher gilt für endliche Mengen, in der Unendlichkeit steckt aber mehr dahinter find ich völlig in Ordnung und ist vielleicht der beste Weg. Aber gleichzeitig jemanden zu sagen, der gar nicht weiß was mathematische Logik wirklich ist, dass das ganze nicht aus der Logik ableitbar ist, ist meiner Meinung nach kontraproduktiv, weil er dann eben glaubt, dass er das nicht verstehen kann, sondern glauben muss. Und ich hatte den Anschein, dass das mehr oder weniger der Vorschlag war. Habs aber auch vielleicht nur falsch verstanden. |
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| 21.09.2010, 14:02 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Es ist doch schlicht und ergreifend die Wahrheit. Soll man jetzt noch das Lügen anfangen 
"Lernen" funktioniert im Übrigen nur dadurch, dass man glaubt, was einem gesagt wird. Auch an der Universität und in Büchern. Ich war im zweiten Weltkrieg nicht dabei, aber ich glaube durchaus, dass es ihn gab. air |
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| 21.09.2010, 14:29 | Nashsright | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Etwas nicht zu sagen ist maximal verschweigen aber nicht lügen. Es ist nicht alles richtig, was einem gesagt wird oder irgendwo steht. Für den zweiten Weltkrieg gibt es ziemlich unumstößliche Beweise, deswegen kann ich das guten Gewissens glauben. Sage ich einem Schüler, dass ist nicht aus der Logik ableitbar, mag das die Warheit sein, aber er wird meistens nicht verstehen, was das genau bedeutet. Es erweckt nur den Eindruck, dass das alles willkürlich bestimmt wurde und auch wenn das mehr oder weniger so ist, ist das finde ich das falsche Signal, da es zu Unverständnis führt. Wenn man die VI also einfach anschaulich erklärt und vielleicht noch darauf hinweist, dass das nur für endliche Mengen gilt wurde keine unnötige Verwirrung gestiftet und die Schüler können die VI anständig anwenden. |
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| 21.09.2010, 14:45 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das siehst du so. Das kann man auch anders sehen. Tut aber nichts zur Sache - die komplette Wahrheit ist es halt nicht.
Auch hier, du machst es dir m.M.n. zu einfach. Wer entscheidet denn, wann etwas hinreichend "glaubhaft" ist? Letztendlich doch jeder selbst. Und darum ging es mir doch gerade: Lernen bedeutet Glauben!
Wenn das so eintritt, dann hast du dich m.M.n. völlig falsch verhalten. Man kann diese (wahre) Haltung durchaus rüberbringen, ohne diesen Eindruck zu erwecken. Ich habe das bisher jedenfalls geschafft. Sicher gehören ein paar mehr Sätze dazu - ist aber immer noch einfacher, als ihm die Logik zu lehren.
Nein, können sie nicht. ist halt nunmal leider keine endliche Menge. air |
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| 21.09.2010, 15:13 | Nashsright | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hängt von der Information ab. Kann hier das vorher von Mazze genannte Beispiel mit Stochastik und Maßtheorie nennen. Ist doch auch keine Lüge das nicht zu erwähnen. Man muss einfach abwägen welche Information wichtig ist und welche nicht mMn.
bin hier volkommen deiner Meinung. Ist doch kein Widerspruch zu meiner Aussage, oder?
Wie gesagt, ich bin noch nicht mal Student(erst in knapp 2 Wochen), hab also (glücklicherweise
) noch nie versucht jemanden die VI zu erklären. Deswegen werd ich das jetzt einfach mal so hinnehmen. Konnte nur aus persönlicher Erfahrung sprechen, dass diese Art von Hinweis mich nicht weiterbringt, sondern zweifeln lässt./edit: zu deinem editierten teil: ja stimmt, ist nur meine Meinung und die ist sicher ebenfalls nicht ultimativ. |
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| 21.09.2010, 15:30 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also wenn jemand danach fragt, warum die Stochastik so und so funktioniert, dann kann man das durchaus auch erwähnen. Natürlich muss man in der Schule nicht prinzipiell immer dazusagen "Aber in Wirklichkeit ..." - bei der VI muss das auch nicht sein. Hier ging es aber darum, dass ein Schüler nachfragt. Und da kann man es durchaus anreißen, ohne es näher auszuführen - und dem Schüler so selbst die Wahl lassen (bzw. ihm überhaupt erst die Möglichkeit zu geben), wie genau er es wissen will.
Ich bezog mich auf folgenden Satz von dir: "[..] weil er dann eben glaubt, dass er das nicht verstehen kann, sondern glauben muss." Man muss immer glauben, wenn man lernt. Außer natürlich, man erlebt es selbst*. Und zum letzten Teil: Es geht doch auch keineswegs darum, jemanden vom Lernen abzuhalten. Es geht nur darum, Informationen, die enorm komplex sein können (für den Schüler), nicht unnötigerweise sofort auszuführen, sondern lieber einfach mal zu erwähnen. Gute Lehren bedeutet auch, dass man den Schüler nicht gleich überfordert. Sofern er dann - wie du - zweifelt und nachhakt, kann man ja durchaus aktiver werden. *) Wenn wir hier jetzt mal noch psychologisch/philosophisch aktiv werden, dann muss man sogar beim selbst-Erleben zweifeln. air |
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| 21.09.2010, 15:45 | Nashsright | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dann hab ich jetzt ziemlich am Thema vorbeigeredet. Natürlich sollte man bei Interesse eines Schülers nach bestem gewissen antworten, mir ging es um die allgemeine Unterrichtsmethodik der VI.
Dachte deine Antwort bezog sich auf die meine zitierte Aussage, deswegen war nicht ganz klar was du meintest. Ich würde im Nachhinein "glauben" mit "hinnehmen" ersetzen, in der Form, wie ich es geschrieben habe, hast du Recht. |
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| 21.09.2010, 15:54 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das Beispiel von Mazze ist kein gutes Beispiel. Man kann Statistik durchaus betreiben, ohne in die Abgründe der Maßtheorie einzutauchen. Man kann auch mit dem Riemannintegral arbeiten, ohne das Lebesgueintegral zu erwähnen. Bei der vollständigen Induktion hat man diese Wahl nicht. Man kann keine Beweise über die Gesamtheit der natürlichen Zahlen führen, ohne das Induktionsaxiom zu benutzen. |
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| 21.09.2010, 16:36 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich würde aus didaktischen Gründen zwei Dinge unterscheiden: 1) Welche Idee steckt hinter dem Prinzip der vollständigen Induktion? Was kann der Schüler daran über mathematische Denkweise lernen, was ihm auch sonst noch nützt? 2) Was sind die technischen Voraussetzungen der vollständigen Induktion? In diesem Falle das Induktionsaxiom. Aber ein Axiom ist von der Idee her ein Glaubenssatz, ein Dogma, das man freiwillig akzeptiert, um darauf aufbauend Fortschritte zu erreichen. Darüber kann man eigentlich nicht diskutieren, noch trägt das Axiom an sich etwas zum Verständnis bei. Es ist eigentlich auch gleichgültig, welche Bedeutung man dem Axiom zumisst. Natürlich ist es unbedingte Voraussetzung, ergo extrem wichtig. Praktisch braucht man aber trotzdem nur wenige Worte darüber verlieren, also wird es im Unterricht wenig Zeit benötigen, man kann es als Axiom ja auch nicht "erklären", ergo wird es faktisch relativ unwichtig sein. Der Beweis für 1+1=2 von Russell und Whitehead mag zentral für die logisch einwandfreie Ableitung der Mathematik sein, praktisch ist das Ergebnis aber quasi jedem Menschen intuitiv einleuchtend und faktisch ist er deshalb auch für Mathematiker relativ langweilig. Man hätte auch ohne leben können, aber schön, daß es mal jemand gemacht hat. |
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| 21.09.2010, 17:29 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der ist überhaupt nicht zentral und außer dir auch niemand diesen Beweis in Verbindung mit der vollständigen Induktion erwähnt. Die wird ja für ihn auch nicht benötigt. Es ist auch fast übertrieben, da von einem Beweis zu sprechen. Das ist eine einzeilige Folgerung aus der eindeutigen Existenz des Nachfolgerelements, der Definition der Addition über das Nachfolgerelement und der Vereinbarung, den Nachfolger von 1 halt 2 zu nennen. Mir scheint, dir ist nicht klar, was das Verstehen von Axiomen bedeutet. Dabei geht es um die Frage, weshalb braucht man bestimmte Axiome, um bestimmte Dinge zu beweisen. Braucht man das Axiom überhaupt? Ist es vielleicht überflüssig, weil man es aus anderen Axiomen beweisen kann? Durch welche andere Axiome könnte man es ersetzen, um die in der Vorstellung vorhandene mathematische Struktur zu beschreiben? Es hat nicht umsonst viele Jahrhunderte gedauert, bis die Mathematiker erkannten, dass das Parallelenaxiom in der euklidischen Geometrie wirklich als Axiom benötigt wird. Wenn du dich zu solchen Fragen äußerst, wäre es nützlich, wenn du ein gewisses Grundverständnis hättest. Die Behauptung, man könne über ein Axiom nicht diskutieren, ist einerseits vollkommen richtig und andererseits ein extremer Dummsatz. |
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| 24.09.2010, 02:36 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der hat mit vollständiger Induktion in dem Sinne auch nichts zu tun. Aber man kann ihn als Beispiel dafür sehen, daß es berühmte Mathematiker gegeben hat, die sich nicht damit begnügten, selbst einfachste Dinge als nicht selbstverständlich anzusehen und sich für eine vollkommen logische Ableitung aller vollkommen logisch ableitbaren Dinge engagiert haben. Dies führt halt zu entsprechend umständlichen Formulierungen, die trotzdem wahr sind und natürlich zentral für die Mathematik. Wenn du 1+1=2 nicht für zentral hältst, dann bist du für mich schlicht jemand, der bestimmte Dinge nicht zu würdigen weiß. Ohne die Erkenntnis 1+1=2 gäbe es gar keine weitere Mathematik, vermutlich ist das überhaupt die erste mathematische Erkenntnis in der Geschichte der Menschheit und die erste mathematische Einsicht, die heute noch jedes Kleinkind macht.
Natürlich kann man die Folgen studieren, die ein bestimmtes Axiom besitzt. Aber deshalb würde ich nicht davon sprechen, daß man ein Axiom verstehen kann oder muß. Es ist primär eine durch nichts beweisbare Behauptung. Sofern es nützlich ist und vielleicht noch zu keinen Widersprüchen führt, nimmt man es an, anderenfalls nicht (wobei die Widerspruchsfreiheit ja nicht unbedingt gegeben sein muß, siehe die alternativen Geometrien oder den Mathematikerstreit, ob man das Auswahlaxiom braucht oder nicht).
Das siehts du so. Was ich von deinen Beiträgen halte, wenn du deine Meinung so profund, voller Sachkenntnis und argumentativ auf höchsten Niveau äußerst, brauche ich wohl nicht zu schreiben. |
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| 24.09.2010, 02:47 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
& Abbildung =
q.e.d. |
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