log(normalVerteilgun)

19.09.2010, 18:15

Stefan321

log(normalVerteilgun)

Meine Frage:
Hallo

Ich möchte die Normalverteilung log transformieren. Also falls X normalverteilt ist, möchte ich die Verteilung von Y=log(X) (X passend eingeschränkt) bestimmen. Die dichte kann man ja leicht über die Traforegel bestimmen. Doch ich brauche noch die Momente, kennt die jemand?

Viele Grüße
Stefan

Meine Ideen:
Traforegel, momente bestimmen....

19.09.2010, 18:51

Leopold

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Ist es nicht umgekehrt? Das heißt: $\begin{eqnarray*} Y = \operatorname{e}^X \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ normalverteilt ist mit $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ als Erwartungswert und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ als Standardabweichung. Dann ist

$\begin{eqnarray*} m_k = \operatorname{e}^{k \mu + \frac{k^2 \sigma^2}{2}} \end{eqnarray*}$

das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Moment (Lexikon der Stochastik, Akademie-Verlag Berlin, 1983).

19.09.2010, 19:36

Stefan321

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danke für die Antwort, du meinst die Lognormal. Ich suche aber wirklich Y=log(X). Weiß nicht ob es dafür überhaupt einen Namen gibt?

Grüße
Stefan

19.09.2010, 19:48

René Gruber

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Zitat:

Original von Stefan321
Y=log(X) (X passend eingeschränkt)

Was bedeutet das? Das solltest du genauer ausführen!

Kann sein, dass du $\begin{eqnarray*} Y = \log(X_+) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X_+ := \max(X,0) \end{eqnarray*}$ meinst, aber selbst dann hast du nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} [-\infty,\infty) = \mathbb{R} \cup \{-\infty\} \end{eqnarray*}$ als Wertebereich von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , und zwar mit einer echt positiven Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(Y=-\infty) = P(X\leq 0) \end{eqnarray*}$ .

Selbst wenn du das vielleicht etwa für $\begin{eqnarray*} \mu \gg 3\sigma \end{eqnarray*}$ gern vernachlässigen möchtest - für Erwartungswert und Varianz von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist dieses Randverhalten "tödlich", d.h. sie existieren nicht! Augenzwinkern

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