Warum ist die Reihe 1/n divergent und 1/n^2 konvergent? |
19.09.2010, 19:26 | ZooBooJoo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum ist die Reihe 1/n divergent und 1/n^2 konvergent? Ich habe hier mal eine logische Frage: Warum ist divergent und konvergent? ist divergent weil die Summation der Teilglieder immer größer, wenn auch sehr langsam, wird. Daher divergent. Warum ist dann aber konvergent? Hier ist die Summation der Teilglieder, wenngleich noch langsamer, meiner Meinung nach trotzdem divergent. Man müsste schon irgend ein definieren ab dem das Teilgied als gewertet werden soll. |
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19.09.2010, 19:34 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Warum ist die Reihe 1/n divergent und 1/n^2 konvergent?
Und warum bist du dieser Meinung? Oder ist das nur geraten? |
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19.09.2010, 19:39 | ZooBooJoo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist ja usw. Die Teilglieder sind ja immer und daher ist die Summe im unendlichen auch divergent. |
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19.09.2010, 20:07 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du kannst nur dann Aussagen über Konvergenz oder Divergenz treffen, wenn du diese Begriffe auch verstehst. Alleine die Tatsache, dass alle Summanden positiv sind, impliziert nicht die Divergenz. Weitere Gegenbeispiele zu dieser Behauptung sind geometrische Reihen oder die Reihe , welche eine konvergente Majorante zu der von dir angezweifelten Reihe liefert. Dabei lassen sich die Konvergenz von und die Abschätzung einfach zeigen, sodass dir als "Baustein" für die Konvergenz von nur noch die Richtigkeit des Majorantenkriteriums fehlt. Das kannst du z.B. in Wikipedia oder in einem Lehrbuch/Skript zur Analysis nachlesen. Edit:
Auch das solltest du noch einmal überdenken, bzw. den Konvergenzbegriff genauer studieren. |
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19.09.2010, 20:32 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was für einen Kenntnisstand hast du eigentlich. Bist du ein Schüler? Wo hast du diese Aussage her? Kennst du den Grenzwertbegriff? |
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03.04.2024, 21:37 | höflicher mensch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Anstatt die frage zu beantworten einfach zu sagen, dass der fragende falsch liegt, ist so ziemlich das dümmste was man machen kann |
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03.04.2024, 22:35 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Frage von ZooBooJoo ist wichtig, und Wikipedia gibt ein paar gute Denkanstöße unter dem Stichwort "Harmonische Reihe". Anmerkung : Euler hat schon gewußt, dass die Summe über die reziproken Primzahlen divergiert. Das finde ich immer noch interessant... |
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04.04.2024, 09:29 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@höflicher mensch (nomen non est omen) Ein ziemlich überflüssiger Kommentar von dir in einem zudem über 13 Jahre (!) alten Thread: Keiner deiner Vorposter damals hat einfach nur gesagt, dass ZooBooJoo falsch liegt. Insofern geht deine Belehrung (oder sollte man sagen Beleerung) an eine leere Adressliste. |
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04.04.2024, 13:50 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Warum ist die Reihe 1/n divergent und 1/n^2 konvergent? Ich finde diese Reihen faszinierend. Wenn z.B. der Exponent am n nur minimalst größer als 1 ist, dann konvergiert die Reihe schon! Genau bei 1 divergiert sie. Selbst wenn man dann alle Zahlen weglässt, die keine Primzahlen sind, divergiert sie immer noch. Gibt es eine Theorie dazu, wieviele oder welche Zahlen man wegnehmen muss, damit sie konvergiert? |
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04.04.2024, 14:51 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die hierzu gehörige Theorie ist die Theorie der Dirichlet-Reihen. Diese konvergieren immer in einer komplexen Halbebene. Das ist so ähnlich wie bei Potenzreihen, die immer in einem komplexen Kreis konvergieren. Auf dem Rand des Konvergenzbereichs liegt immer ein Pol, und außerhalb des Konvergenzbereichs sind Potenzreihen und Dirichlet-Reihen oft analytisch fortsetzbar. Potenzreihen werden in der Funktionentheorie studiert, Dirichlet-Reihen in der Zahlentheorie. |
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04.04.2024, 14:52 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Andererseits kann man aber so Konvergenz erreichen: Man lässt alle Indizes weg, deren Dezimaldarstellung die Ziffer 9 mindestens einmal enthält, denn dann gilt für die Menge der verbleibenden positiven Indizes bei grober Abschätzung ------------------------------------------------------------------------------- Was die Veränderung des Summanden betrifft: Ausgangspunkt ist konvergiert für , und divergiert für . Über das Verdichtungskriterium ist damit klar: konvergiert für , und divergiert für . konvergiert für , und divergiert für ... Das kann man nun solange fortführen wie man lustig ist. Aus dieser oder ähnlichen Konstruktionen ist auch klar, dass es keine "am langsamsten" konvergenten bzw. divergenten Reihen geben kann, d.h. solche, die gewissermaßen als "ultimative" Vergleichsreihen für Majoranten- bzw. Minorantenkriterium fungieren könnten. |
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04.04.2024, 15:18 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aha, interessant!
Ok, das war so der Hintergedanke meiner Frage. |
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04.04.2024, 16:43 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei divergenten Reihen klappt z.B. folgende Konstruktion: Es sei eine divergente Reihe mit positiven Gliedern, d.h. die zugehörige Partialsummenfolge wächst streng monoton und divergiert gegen . Bildet man nun , so divergiert ebenfalls wobei dabei gilt, d.h. divergiert "langsamer" als . Dieser Prozess führt beispielsweise mit Ausgangspunkt zu folgender Kette divergenter Reihen mit den Harmonischen Zahlen , für die bekanntlich für gilt - also asymptotisch betrachtet ist das quasi dasselbe Beispiel wie oben mit . |
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