Abbildung,Mengen,...

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08.11.2006, 15:44	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung,Mengen,... Seinen M und N Mengen und R eine Relation auf (M,N),d.h. R $\begin{eqnarray} \subseteq M \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ . Beweiseen Sie:Es existiert genau dann eine Abbildung $\begin{eqnarray} f: M\rightarrow N \end{eqnarray}$ mit graph $\begin{eqnarray} (f)=R \end{eqnarray}$ ,wenn R folgende zwei Bedingungen erfüllt: a) $\begin{eqnarray} \forall x \in M \exists y \in N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (x,y) \in R \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} (x,y) \in R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x,y') \in R \Rightarrow y=y' \end{eqnarray}$ Was ist zu tun bzw. wie fange ich mit dem Beweis an? Hat jemand eine Idee?
08.11.2006, 16:25	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst zeigen, dass aus den Eigenschaften a) und b) folgt, dass eine Funktion $\begin{eqnarray} f:M\to N \end{eqnarray}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ gleich dem Graphen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist und umgekehrt. Nimm also zunächst an, dass a) und b) gelten. Wie ist denn der Graph einer Funktion definiert? Welches $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ kannst du dann wohl wählen? Gruß MSS
08.11.2006, 17:22	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt welches f ich wählen kann? Ich hab erlich gesagt nicht die leiseste Ahnung wie ich da ran gehen kann. Kannst du mir nicht am anfang helfen?
08.11.2006, 17:30	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib erstmal auf, wie der Graph definiert ist! Gruß MSS
08.11.2006, 17:36	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
f{x,y}={x',y'} So vielleichlt, hab keine Ahnung!!! Bitte hilf mir, sonst schaff ich das nie!
08.11.2006, 17:46	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst nicht raten! Ihr müsst doch eine Definition für den Graphen aufgeschrieben (oder in eurem Skript) haben!? Gruß MSS
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08.11.2006, 17:54	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann jetzt nur raten, hab echt keine ahnung und finde auch nichts!
08.11.2006, 18:05	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Graph der Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist die Menge $\begin{eqnarray} \Gamma_f=\{(x,y)\in M\times N\ \|\ y=f(x)\} \end{eqnarray}$ . Jetzt ne Idee? Gruß MSS
08.11.2006, 20:34	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein leider hab ich immer noch keine Idee. Ich mach das gerade zum ersten mal, echt keine Ahnung.
08.11.2006, 20:47	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir nehmen an, dass a) und b) gelten. Dann gibt es zu jedem $\begin{eqnarray} x\in M \end{eqnarray}$ mind. ein $\begin{eqnarray} y\in N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (x,y)\in R \end{eqnarray}$ . Die Eigenschaft b) sagt dann, dass es nur ein solches $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ geben kann! D.h.: Zu jedem $\begin{eqnarray} x\in M \end{eqnarray}$ gibt es genau ein $\begin{eqnarray} y\in N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (x,y)\in R \end{eqnarray}$ . Jetzt kannst du einfach definieren: $\begin{eqnarray} f(x)=y:\Leftrightarrow (x,y)\in R \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
08.11.2006, 21:00	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut soweit hab ich es jetzt zum Glück verstanden. Wir haben praktisch die Eigenschaften von a) und b) herausgesucht und in f zusammengefasst. Aber das kann ja nicht schon alles gewesen sein. Wie geht es denn jetzt weiter?
08.11.2006, 21:29	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, jetzt musst doch noch zeigen, dass der Graph von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gerade $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ist. Und außerdem fehlt natürlich noch die andere Richtung! Gruß MSS
08.11.2006, 21:59	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mag jetzt vllt blöd klingen aber wie kann ich jetzt zeigen dass f(x) = R ist? Ich weiß dass $\begin{eqnarray} R \subseteq M \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ist und f = R. Wie mach ich das? ...wie geh ich den umgekehrten Weg?was zeige ich da?
08.11.2006, 22:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst nicht $\begin{eqnarray} f=R \end{eqnarray}$ zeigen! Du sollst $\begin{eqnarray} \Gamma_f=R \end{eqnarray}$ zeigen! Ich hab dir doch oben aufgeschrieben, was $\begin{eqnarray} \Gamma_f \end{eqnarray}$ ist. Einfach hinschreiben, dann sieht man es sofort! Bei der Rückrichtung musst du zeigen: Wenn eine Abbildung $\begin{eqnarray} f:M\to N \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} G_f=R \end{eqnarray}$ , dann gelten a) und b)! Gruß MSS
08.11.2006, 22:31	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \Gamma_f \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ { $\begin{eqnarray} {(x,y) \in M \times N \| y = f(x)} \end{eqnarray}$ }= $\begin{eqnarray} (x,y) \Longleftrightarrow f(x) = y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \Gamma_f \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ Ist das so richtig? Kann ich das so stehen lassen? Zum Rückweg: Was ist $\begin{eqnarray} G_f \end{eqnarray}$ ?
08.11.2006, 22:40	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, auf der linken Seite steht eine Menge, auf der rechten ein Paar. Das geht nicht. Wir haben doch $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ so definiert, dass gilt: $\begin{eqnarray} y=f(x)\Leftrightarrow (x,y)\in R \end{eqnarray}$ . Wir wollen zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray} (x,y)\in\Gamma_f\Leftrightarrow (x,y)\in R \end{eqnarray}$ . Das ergibt sich aber direkt, da $\begin{eqnarray} (x,y)\in\Gamma_f\Leftrightarrow y=f(x) \end{eqnarray}$ gilt, was aus der Definition von $\begin{eqnarray} \Gamma_f \end{eqnarray}$ folgt. Sorry, da sollte $\begin{eqnarray} \Gamma_f \end{eqnarray}$ anstelle von $\begin{eqnarray} G_f \end{eqnarray}$ hin. Gruß MSS
08.11.2006, 23:25	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Rückweg: Wenn $\begin{eqnarray} f: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M \rightarrow N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Gamma_f = R \end{eqnarray}$ dann gelten (a) und (b) f(x) = y $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ (x,y) $\begin{eqnarray} \in R \end{eqnarray}$ (x,y) $\begin{eqnarray} \in \Gamma_f \Rightarrow R \in \Gamma_f \end{eqnarray}$ (a) $\begin{eqnarray} \in \Gamma_f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (b) \in \Gamma_f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow Es gelten (ab) und (b) \end{eqnarray}$
08.11.2006, 23:33	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
a) und b) sind Aussagen, die können nicht Elemente irgendwelcher Mengen sein! Und wo hast du jetzt gezeigt, dass diese Aussagen gelten? Ich sehe leider keinen Beweis. Gruß MSS
09.11.2006, 00:11	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann doch die Folgerung von dirgerade umdrehenoder?, natürlich ohne a) und b) als Element zu werten,absoluter Schwachsinn,hab das anders gemeint als geschrieben,war ein bisschen unglücklich!
09.11.2006, 00:29	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, im Prinzip kann man es einfach umkehren. Aber dabei muss man aus einer Aussage ja zwei neue Aussagen gewinnen, sodass du dann noch ein bisschen was weiterführen musst. Gruß MSS

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