Integral mittels Riemannscher Summe bestimmen

19.09.2010, 21:15	hapuuu	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mittels Riemannscher Summe bestimmen Meine Frage: Also, das Thema der Vorlesung war "Das bestimmte Integral".Nun haben wir folgende Aufgabe bekommen: Schreiben Sie n-1 lim (n-->unendlich) 1/n² * (Summenzeichen) * Wurzel von k(n-k) k=0 mittels Riemannschen Summen als bestimmtes Inttegral, d.h geben Sie eine Funktion f: [0,1] --> IR an mit 1 Integralzeichen f(t)dt= das was schon oben steht. 2 Meine Ideen: Nun ja, ich hatte mir nun folgendes gedacht. Ich berechne als erstes die Riemannsche Summe.Dann weiss ich ja, was das Ergebnis meiner integrierten Fkt sein muss. Die Eigentschaft meiner Fkt weiss ich ja schon durch dem was nach dem Summenzeichen steht, sprich das es Wurzel iwas sein muss oder ^1/2. Dann würde ich mehr oder weniger die gesuchte Funktion erraten.Das wäre jetzt mein Ansatz. Nun komme ich aber nicht mit dem ersten Pkt weiter, wie ich die Riemannsche Summe berechnen soll. würde mich sehr freuen wenn mir jemand weiter helfen könnte.danke ^^
19.09.2010, 23:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da steht ja noch ein Limes davor. Den darfst du nicht ignorieren. Und selbst wenn es dir gelänge, den Wert zu berechnen, wie wolltest du dann aus einer Zahl auf die Funktion schließen? Nein, du mußt eine Funktion $\begin{eqnarray} f(t), \, t \in [0,1] \end{eqnarray}$ finden, so daß du die Summe dem Muster $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} f \left( \tau_k \right) \cdot \Delta t_k \end{eqnarray}$ unterlegen kannst. Hierbei liegt eine Zerlegung des Intervalls $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ zugrunde: $\begin{eqnarray} 0 = t_0 < t_1 < t_2 < \ldots < t_{n-1} < t_n = 1 \end{eqnarray}$ Und es ist $\begin{eqnarray} \tau_k \in \left[ t_{k-1} , t_k \right] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Delta t_k = t_k - t_{k-1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 1 \leq k \leq n \end{eqnarray}$ . Bei einer äquidistanten Zerlegung ist $\begin{eqnarray} \Delta t_k = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ unabhängig von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ . Der Trick ist die Umformung $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{k \cdot (n-k)} = \frac{1}{n} \, \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\frac{k}{n} \cdot \left( 1 - \frac{k}{n} \right)} \end{eqnarray}$ Erkennst du nun eine passende Zerlegung und das $\begin{eqnarray} f(t) \end{eqnarray}$ ? Und so viel sei verraten: Das Ganze hat etwas mit einem Halbkreis zu tun.
20.09.2010, 00:26	hapuuu	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich hab jetzt folgendes raus \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} \sqrt{\frac{k}{n} -\frac{k²}{n²} } leider weiss ich nun nichts mit dem halbkreis anzufangen
20.09.2010, 00:33	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht solltest du dir erst einmal überlegen, was die gesuchte Funktion ist. Wenn du die plottest, kommst du auch darauf, was Leopold mit dem Halbkreis meint.
20.09.2010, 00:57	hapuuu	Auf diesen Beitrag antworten »
um jetzt herauszufinden was die gesuchte fkt ist muss ich doch gucken wie ich von f(a+k) auf f(k/n *(1- k/n) komme oder? und das bekomme ich grad nicht hin .was ist mit plotten gemeint?
20.09.2010, 08:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann helfen wir ein bißchen. Wenn du das Intervall $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gleiche Teile einteilst, dann sind die Teilungspunkte und ihre gemeinsame Intervallbreite gerade $\begin{eqnarray} t_k = \frac{k}{n} \, , \ \ \Delta t_k = \frac{1}{n} \, ; \ \ 0 \leq k \leq n \end{eqnarray}$ Wenn man nun speziell $\begin{eqnarray} \tau_k = t_{k-1} \in \left[ t_{k-1} , t_k \right] \end{eqnarray}$ wählt, zu welcher Funktion $\begin{eqnarray} f(t) \end{eqnarray}$ paßt dann die Riemann-Summe?
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11.01.2015, 22:00	jjennyx3	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo leute, ich sitze grad vor genau der selben aufgabe .. und komme absolut nicht weiter. Unser tutor in der uni hat ein beispiel gegeben mit dem $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n (\frac{k}{n})^{2} \end{eqnarray}$ Wir haben dann soweit umgeformt $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n^{3}}\sum\limits_{k=1}^n {k}^{2} \end{eqnarray}$ Und konnten dann eine summenformel anwenden und sind dann auc 1/3 gekommen. Das habe ich hier auch versucht komme aber kein bisschen weiter, ich glaube auch das funktioniert hier nicht.. kann mir vielleicht jemand weiterhelfen ? Die bisherigen antworten bringen mich nicht weiter. ich weiß nicht wie ich auf diese funktion kommen soll und auch bei dem tipp mit dem Halbkreis macht es nicht klick.. Grüße, Jenny

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